Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114962 / 16657
↖ ↑ ↗
← N 79.029556°
E135.752563°		 ← 58.12 m → N 79.029556°
E135.755310°		 →
↑
58.10 m
↓
↑
58.10 m
↓
N 79.029033°
E135.752563°		 ← 58.13 m →
3 377 m²		 N 79.029033°
E135.755310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877094268798828 y=0.127086639404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877094268798828 × 217)
    floor (0.877094268798828 × 131072)
    floor (114962.5)     		tx = 114962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127086639404297 × 217)
    floor (0.127086639404297 × 131072)
    floor (16657.5)     		ty = 16657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114962 / 16657 ti = "17/114962/16657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114962/16657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114962 ÷ 217
    114962 ÷ 131072     		x = 0.877090454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16657 ÷ 217
    16657 ÷ 131072     		y = 0.127082824707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.877090454101562 × 2 - 1) × π
    0.754180908203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.36932920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127082824707031 × 2 - 1) × π
    0.745834350585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.34310771652872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36932920} λ = 2.36932920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34310771652872))-π/2
    2×atan(10.4135486856401)-π/2
    2×1.4750611373539-π/2
    2.95012227470781-1.57079632675     		φ = 1.37932595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36932920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.752563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37932595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.029556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114962 KachelY 16657 2.36932920 1.37932595 135.752563 79.029556
    Oben rechts KachelX + 1 114963 KachelY 16657 2.36937714 1.37932595 135.755310 79.029556
    Unten links KachelX 114962 KachelY + 1 16658 2.36932920 1.37931683 135.752563 79.029033
    Unten rechts KachelX + 1 114963 KachelY + 1 16658 2.36937714 1.37931683 135.755310 79.029033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37932595-1.37931683) × R
    9.11999999986257e-06 × 6371000     		dl = 58.1035199991244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37932595-1.37931683) × R
    9.11999999986257e-06 × 6371000     		dr = 58.1035199991244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36932920-2.36937714) × cos(1.37932595) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190302606538838 × 6371000     		do = 58.1233144260153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36932920-2.36937714) × cos(1.37931683) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1903115598673 × 6371000     		du = 58.1260490029864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37932595)-sin(1.37931683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190302606538838-0.1903115598673)×R²
    abs(2.36937714-2.36932920)×8.95332846256869e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.95332846256869e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.95332846256869e-06×40589641000000     		ar = 3377.24860646029m²