Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114958 / 16650
↖ ↑ ↗
← N 79.033214°
E135.741577°		 ← 58.10 m → N 79.033214°
E135.744324°		 →
↑
58.10 m
↓
↑
58.10 m
↓
N 79.032691°
E135.741577°		 ← 58.11 m →
3 376 m²		 N 79.032691°
E135.744324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877063751220703 y=0.127033233642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877063751220703 × 217)
    floor (0.877063751220703 × 131072)
    floor (114958.5)     		tx = 114958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127033233642578 × 217)
    floor (0.127033233642578 × 131072)
    floor (16650.5)     		ty = 16650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114958 / 16650 ti = "17/114958/16650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114958/16650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114958 ÷ 217
    114958 ÷ 131072     		x = 0.877059936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16650 ÷ 217
    16650 ÷ 131072     		y = 0.127029418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.877059936523438 × 2 - 1) × π
    0.754119873046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.36913745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127029418945312 × 2 - 1) × π
    0.745941162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34344327482607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36913745} λ = 2.36913745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34344327482607))-π/2
    2×atan(10.4170436246514)-π/2
    2×1.47509306090503-π/2
    2.95018612181005-1.57079632675     		φ = 1.37938980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36913745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.741577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37938980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.033214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114958 KachelY 16650 2.36913745 1.37938980 135.741577 79.033214
    Oben rechts KachelX + 1 114959 KachelY 16650 2.36918539 1.37938980 135.744324 79.033214
    Unten links KachelX 114958 KachelY + 1 16651 2.36913745 1.37938068 135.741577 79.032691
    Unten rechts KachelX + 1 114959 KachelY + 1 16651 2.36918539 1.37938068 135.744324 79.032691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37938980-1.37938068) × R
    9.12000000008462e-06 × 6371000     		dl = 58.1035200005391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37938980-1.37938068) × R
    9.12000000008462e-06 × 6371000     		dr = 58.1035200005391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36913745-2.36918539) × cos(1.37938980) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190239922979072 × 6371000     		do = 58.1041692533879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36913745-2.36918539) × cos(1.37938068) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190248876418334 × 6371000     		du = 58.1069038642002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37938980)-sin(1.37938068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190239922979072-0.190248876418334)×R²
    abs(2.36918539-2.36913745)×8.95343926263226e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.95343926263226e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.95343926263226e-06×40589641000000     		ar = 3376.13620544975m²