Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114957 / 18299
↖ ↑ ↗
← N 78.137316°
E135.738831°		 ← 62.77 m → N 78.137316°
E135.741577°		 →
↑
62.75 m
↓
↑
62.75 m
↓
N 78.136752°
E135.738831°		 ← 62.78 m →
3 939 m²		 N 78.136752°
E135.741577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877056121826172 y=0.139614105224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877056121826172 × 217)
    floor (0.877056121826172 × 131072)
    floor (114957.5)     		tx = 114957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139614105224609 × 217)
    floor (0.139614105224609 × 131072)
    floor (18299.5)     		ty = 18299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114957 / 18299 ti = "17/114957/18299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114957/18299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114957 ÷ 217
    114957 ÷ 131072     		x = 0.877052307128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18299 ÷ 217
    18299 ÷ 131072     		y = 0.139610290527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.877052307128906 × 2 - 1) × π
    0.754104614257812 × 3.1415926535     		Λ = 2.36908952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139610290527344 × 2 - 1) × π
    0.720779418945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.26439532735259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36908952} λ = 2.36908952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26439532735259))-π/2
    2×atan(9.62530268385467)-π/2
    2×1.4672748845827-π/2
    2.93454976916541-1.57079632675     		φ = 1.36375344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36908952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.738831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36375344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.137316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114957 KachelY 18299 2.36908952 1.36375344 135.738831 78.137316
    Oben rechts KachelX + 1 114958 KachelY 18299 2.36913745 1.36375344 135.741577 78.137316
    Unten links KachelX 114957 KachelY + 1 18300 2.36908952 1.36374359 135.738831 78.136752
    Unten rechts KachelX + 1 114958 KachelY + 1 18300 2.36913745 1.36374359 135.741577 78.136752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36375344-1.36374359) × R
    9.85000000008895e-06 × 6371000     		dl = 62.7543500005667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36375344-1.36374359) × R
    9.85000000008895e-06 × 6371000     		dr = 62.7543500005667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36908952-2.36913745) × cos(1.36375344) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205566844488179 × 6371000     		do = 62.7723089336432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36908952-2.36913745) × cos(1.36374359) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205576484112517 × 6371000     		du = 62.7752525088993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36375344)-sin(1.36374359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205566844488179-0.205576484112517)×R²
    abs(2.36913745-2.36908952)×9.63962433753185e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.63962433753185e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.63962433753185e-06×40589641000000     		ar = 3939.32780629288m²