Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114934 / 18160
↖ ↑ ↗
← N 78.215541°
E135.675659°		 ← 62.36 m → N 78.215541°
E135.678406°		 →
↑
62.37 m
↓
↑
62.37 m
↓
N 78.214980°
E135.675659°		 ← 62.37 m →
3 890 m²		 N 78.214980°
E135.678406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876880645751953 y=0.138553619384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876880645751953 × 217)
    floor (0.876880645751953 × 131072)
    floor (114934.5)     		tx = 114934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138553619384766 × 217)
    floor (0.138553619384766 × 131072)
    floor (18160.5)     		ty = 18160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114934 / 18160 ti = "17/114934/18160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114934/18160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114934 ÷ 217
    114934 ÷ 131072     		x = 0.876876831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18160 ÷ 217
    18160 ÷ 131072     		y = 0.1385498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876876831054688 × 2 - 1) × π
    0.753753662109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.36798697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1385498046875 × 2 - 1) × π
    0.722900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27105855639978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36798697} λ = 2.36798697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27105855639978))-π/2
    2×atan(9.68965243075056)-π/2
    2×1.46795752570248-π/2
    2.93591505140497-1.57079632675     		φ = 1.36511872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36798697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.675659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36511872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.215541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114934 KachelY 18160 2.36798697 1.36511872 135.675659 78.215541
    Oben rechts KachelX + 1 114935 KachelY 18160 2.36803490 1.36511872 135.678406 78.215541
    Unten links KachelX 114934 KachelY + 1 18161 2.36798697 1.36510893 135.675659 78.214980
    Unten rechts KachelX + 1 114935 KachelY + 1 18161 2.36803490 1.36510893 135.678406 78.214980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36511872-1.36510893) × R
    9.78999999978747e-06 × 6371000     		dl = 62.372089998646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36511872-1.36510893) × R
    9.78999999978747e-06 × 6371000     		dr = 62.372089998646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36798697-2.36803490) × cos(1.36511872) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204230531495711 × 6371000     		do = 62.3642496855474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36798697-2.36803490) × cos(1.36510893) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204240115140344 × 6371000     		du = 62.3671761667273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36511872)-sin(1.36510893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204230531495711-0.204240115140344)×R²
    abs(2.36803490-2.36798697)×9.58364463274353e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.58364463274353e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.58364463274353e-06×40589641000000     		ar = 3889.87985934816m²