Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114930 / 18161
↖ ↑ ↗
← N 78.214980°
E135.664673°		 ← 62.38 m → N 78.214980°
E135.667420°		 →
↑
62.37 m
↓
↑
62.37 m
↓
N 78.214419°
E135.664673°		 ← 62.38 m →
3 891 m²		 N 78.214419°
E135.667420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876850128173828 y=0.138561248779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876850128173828 × 217)
    floor (0.876850128173828 × 131072)
    floor (114930.5)     		tx = 114930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138561248779297 × 217)
    floor (0.138561248779297 × 131072)
    floor (18161.5)     		ty = 18161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114930 / 18161 ti = "17/114930/18161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114930/18161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114930 ÷ 217
    114930 ÷ 131072     		x = 0.876846313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18161 ÷ 217
    18161 ÷ 131072     		y = 0.138557434082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876846313476562 × 2 - 1) × π
    0.753692626953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.36779522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138557434082031 × 2 - 1) × π
    0.722885131835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.27101061950016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36779522} λ = 2.36779522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27101061950016))-π/2
    2×atan(9.68918794998761)-π/2
    2×1.46795263049849-π/2
    2.93590526099698-1.57079632675     		φ = 1.36510893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36779522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.664673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36510893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.214980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114930 KachelY 18161 2.36779522 1.36510893 135.664673 78.214980
    Oben rechts KachelX + 1 114931 KachelY 18161 2.36784316 1.36510893 135.667420 78.214980
    Unten links KachelX 114930 KachelY + 1 18162 2.36779522 1.36509914 135.664673 78.214419
    Unten rechts KachelX + 1 114931 KachelY + 1 18162 2.36784316 1.36509914 135.667420 78.214419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36510893-1.36509914) × R
    9.79000000000951e-06 × 6371000     		dl = 62.3720900000606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36510893-1.36509914) × R
    9.79000000000951e-06 × 6371000     		dr = 62.3720900000606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36779522-2.36784316) × cos(1.36510893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204240115140344 × 6371000     		do = 62.3801883043838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36779522-2.36784316) × cos(1.36509914) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204249698765401 × 6371000     		du = 62.3831153901589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36510893)-sin(1.36509914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204240115140344-0.204249698765401)×R²
    abs(2.36784316-2.36779522)×9.58362505773525e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.58362505773525e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.58362505773525e-06×40589641000000     		ar = 3890.87400348969m²