Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114928 / 18480
↖ ↑ ↗
← N 78.034688°
E135.659180°		 ← 63.31 m → N 78.034688°
E135.661926°		 →
↑
63.33 m
↓
↑
63.33 m
↓
N 78.034118°
E135.659180°		 ← 63.31 m →
4 009 m²		 N 78.034118°
E135.661926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876834869384766 y=0.140995025634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876834869384766 × 217)
    floor (0.876834869384766 × 131072)
    floor (114928.5)     		tx = 114928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140995025634766 × 217)
    floor (0.140995025634766 × 131072)
    floor (18480.5)     		ty = 18480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114928 / 18480 ti = "17/114928/18480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114928/18480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114928 ÷ 217
    114928 ÷ 131072     		x = 0.8768310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18480 ÷ 217
    18480 ÷ 131072     		y = 0.1409912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8768310546875 × 2 - 1) × π
    0.753662109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.36769935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1409912109375 × 2 - 1) × π
    0.718017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25571874852136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36769935} λ = 2.36769935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25571874852136))-π/2
    2×atan(9.54214925166795)-π/2
    2×1.46637927957052-π/2
    2.93275855914104-1.57079632675     		φ = 1.36196223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36769935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36196223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.034688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114928 KachelY 18480 2.36769935 1.36196223 135.659180 78.034688
    Oben rechts KachelX + 1 114929 KachelY 18480 2.36774728 1.36196223 135.661926 78.034688
    Unten links KachelX 114928 KachelY + 1 18481 2.36769935 1.36195229 135.659180 78.034118
    Unten rechts KachelX + 1 114929 KachelY + 1 18481 2.36774728 1.36195229 135.661926 78.034118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36196223-1.36195229) × R
    9.93999999998607e-06 × 6371000     		dl = 63.3277399999113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36196223-1.36195229) × R
    9.93999999998607e-06 × 6371000     		dr = 63.3277399999113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36769935-2.36774728) × cos(1.36196223) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207319469043359 × 6371000     		do = 63.3074939256411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36769935-2.36774728) × cos(1.36195229) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20732919306966 × 6371000     		du = 63.310463274052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36196223)-sin(1.36195229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207319469043359-0.20732919306966)×R²
    abs(2.36774728-2.36769935)×9.72402630022851e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.72402630022851e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.72402630022851e-06×40589641000000     		ar = 4009.21453639177m²