Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114893 / 18499
↖ ↑ ↗
← N 78.023864°
E135.563049°		 ← 63.38 m → N 78.023864°
E135.565796°		 →
↑
63.39 m
↓
↑
63.39 m
↓
N 78.023294°
E135.563049°		 ← 63.38 m →
4 018 m²		 N 78.023294°
E135.565796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876567840576172 y=0.141139984130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876567840576172 × 217)
    floor (0.876567840576172 × 131072)
    floor (114893.5)     		tx = 114893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141139984130859 × 217)
    floor (0.141139984130859 × 131072)
    floor (18499.5)     		ty = 18499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114893 / 18499 ti = "17/114893/18499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114893/18499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114893 ÷ 217
    114893 ÷ 131072     		x = 0.876564025878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18499 ÷ 217
    18499 ÷ 131072     		y = 0.141136169433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876564025878906 × 2 - 1) × π
    0.753128051757812 × 3.1415926535     		Λ = 2.36602155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141136169433594 × 2 - 1) × π
    0.717727661132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.25480794742858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36602155} λ = 2.36602155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25480794742858))-π/2
    2×atan(9.53346220838684)-π/2
    2×1.4662848240984-π/2
    2.9325696481968-1.57079632675     		φ = 1.36177332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36602155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.563049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36177332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.023864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114893 KachelY 18499 2.36602155 1.36177332 135.563049 78.023864
    Oben rechts KachelX + 1 114894 KachelY 18499 2.36606949 1.36177332 135.565796 78.023864
    Unten links KachelX 114893 KachelY + 1 18500 2.36602155 1.36176337 135.563049 78.023294
    Unten rechts KachelX + 1 114894 KachelY + 1 18500 2.36606949 1.36176337 135.565796 78.023294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36177332-1.36176337) × R
    9.9499999999253e-06 × 6371000     		dl = 63.3914499995241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36177332-1.36176337) × R
    9.9499999999253e-06 × 6371000     		dr = 63.3914499995241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36602155-2.36606949) × cos(1.36177332) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207504270950926 × 6371000     		do = 63.3771455083056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36602155-2.36606949) × cos(1.36176337) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207514004370067 × 6371000     		du = 63.3801183450494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36177332)-sin(1.36176337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207504270950926-0.207514004370067)×R²
    abs(2.36606949-2.36602155)×9.73341914070613e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.73341914070613e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.73341914070613e-06×40589641000000     		ar = 4017.66337676816m²