Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114886 / 18499
↖ ↑ ↗
← N 78.023864°
E135.543823°		 ← 63.36 m → N 78.023864°
E135.546570°		 →
↑
63.39 m
↓
↑
63.39 m
↓
N 78.023294°
E135.543823°		 ← 63.37 m →
4 017 m²		 N 78.023294°
E135.546570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876514434814453 y=0.141139984130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876514434814453 × 217)
    floor (0.876514434814453 × 131072)
    floor (114886.5)     		tx = 114886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141139984130859 × 217)
    floor (0.141139984130859 × 131072)
    floor (18499.5)     		ty = 18499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114886 / 18499 ti = "17/114886/18499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114886/18499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114886 ÷ 217
    114886 ÷ 131072     		x = 0.876510620117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18499 ÷ 217
    18499 ÷ 131072     		y = 0.141136169433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876510620117188 × 2 - 1) × π
    0.753021240234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.36568600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141136169433594 × 2 - 1) × π
    0.717727661132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.25480794742858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36568600} λ = 2.36568600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25480794742858))-π/2
    2×atan(9.53346220838684)-π/2
    2×1.4662848240984-π/2
    2.9325696481968-1.57079632675     		φ = 1.36177332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36568600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.543823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36177332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.023864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114886 KachelY 18499 2.36568600 1.36177332 135.543823 78.023864
    Oben rechts KachelX + 1 114887 KachelY 18499 2.36573393 1.36177332 135.546570 78.023864
    Unten links KachelX 114886 KachelY + 1 18500 2.36568600 1.36176337 135.543823 78.023294
    Unten rechts KachelX + 1 114887 KachelY + 1 18500 2.36573393 1.36176337 135.546570 78.023294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36177332-1.36176337) × R
    9.9499999999253e-06 × 6371000     		dl = 63.3914499995241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36177332-1.36176337) × R
    9.9499999999253e-06 × 6371000     		dr = 63.3914499995241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36568600-2.36573393) × cos(1.36177332) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207504270950926 × 6371000     		do = 63.3639254112837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36568600-2.36573393) × cos(1.36176337) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207514004370067 × 6371000     		du = 63.3668976279113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36177332)-sin(1.36176337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207504270950926-0.207514004370067)×R²
    abs(2.36573393-2.36568600)×9.73341914070613e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.73341914070613e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.73341914070613e-06×40589641000000     		ar = 4016.82531599378m²