Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11488 / 12128
↖ ↑ ↗
← N 42.293564°
W 53.789062°		 ← 903.65 m → N 42.293564°
W 53.778076°		 →
↑
903.73 m
↓
↑
903.73 m
↓
N 42.285437°
W 53.789062°		 ← 903.77 m →
816 709 m²		 N 42.285437°
W 53.778076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.350601196289062 y=0.370132446289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.350601196289062 × 215)
    floor (0.350601196289062 × 32768)
    floor (11488.5)     		tx = 11488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370132446289062 × 215)
    floor (0.370132446289062 × 32768)
    floor (12128.5)     		ty = 12128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11488 / 12128 ti = "15/11488/12128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11488/12128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11488 ÷ 215
    11488 ÷ 32768     		x = 0.3505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12128 ÷ 215
    12128 ÷ 32768     		y = 0.3701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3505859375 × 2 - 1) × π
    -0.298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.93879624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3701171875 × 2 - 1) × π
    0.259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.816077779131836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93879624} λ = -0.93879624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.816077779131836))-π/2
    2×atan(2.26161187735414)-π/2
    2×1.15447913716729-π/2
    2.30895827433459-1.57079632675     		φ = 0.73816195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93879624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.789062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73816195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.293564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11488 KachelY 12128 -0.93879624 0.73816195 -53.789062 42.293564
    Oben rechts KachelX + 1 11489 KachelY 12128 -0.93860449 0.73816195 -53.778076 42.293564
    Unten links KachelX 11488 KachelY + 1 12129 -0.93879624 0.73802010 -53.789062 42.285437
    Unten rechts KachelX + 1 11489 KachelY + 1 12129 -0.93860449 0.73802010 -53.778076 42.285437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73816195-0.73802010) × R
    0.000141849999999999 × 6371000     		dl = 903.726349999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73816195-0.73802010) × R
    0.000141849999999999 × 6371000     		dr = 903.726349999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93879624--0.93860449) × cos(0.73816195) × R
    0.000191749999999935 × 0.739706685496696 × 6371000     		do = 903.654720489863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93879624--0.93860449) × cos(0.73802010) × R
    0.000191749999999935 × 0.739802133094222 × 6371000     		du = 903.771323021319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73816195)-sin(0.73802010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739706685496696-0.739802133094222)×R²
    abs(-0.93860449--0.93879624)×9.54475975261104e-05×R²
    0.000191749999999935×9.54475975261104e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.54475975261104e-05×40589641000000     		ar = 816709.27196805m²