Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114878 / 18488
↖ ↑ ↗
← N 78.030131°
E135.521851°		 ← 63.34 m → N 78.030131°
E135.524597°		 →
↑
63.33 m
↓
↑
63.33 m
↓
N 78.029562°
E135.521851°		 ← 63.35 m →
4 012 m²		 N 78.029562°
E135.524597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876453399658203 y=0.141056060791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876453399658203 × 217)
    floor (0.876453399658203 × 131072)
    floor (114878.5)     		tx = 114878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141056060791016 × 217)
    floor (0.141056060791016 × 131072)
    floor (18488.5)     		ty = 18488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114878 / 18488 ti = "17/114878/18488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114878/18488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114878 ÷ 217
    114878 ÷ 131072     		x = 0.876449584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18488 ÷ 217
    18488 ÷ 131072     		y = 0.14105224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876449584960938 × 2 - 1) × π
    0.752899169921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.36530250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14105224609375 × 2 - 1) × π
    0.7178955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2553352533244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36530250} λ = 2.36530250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2553352533244))-π/2
    2×atan(9.53849058484667)-π/2
    2×1.46633951910283-π/2
    2.93267903820566-1.57079632675     		φ = 1.36188271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36530250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.521851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36188271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.030131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114878 KachelY 18488 2.36530250 1.36188271 135.521851 78.030131
    Oben rechts KachelX + 1 114879 KachelY 18488 2.36535044 1.36188271 135.524597 78.030131
    Unten links KachelX 114878 KachelY + 1 18489 2.36530250 1.36187277 135.521851 78.029562
    Unten rechts KachelX + 1 114879 KachelY + 1 18489 2.36535044 1.36187277 135.524597 78.029562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36188271-1.36187277) × R
    9.93999999998607e-06 × 6371000     		dl = 63.3277399999113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36188271-1.36187277) × R
    9.93999999998607e-06 × 6371000     		dr = 63.3277399999113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36530250-2.36535044) × cos(1.36188271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207397260680131 × 6371000     		do = 63.3444618171605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36530250-2.36535044) × cos(1.36187277) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207406984542526 × 6371000     		du = 63.3474317350279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36188271)-sin(1.36187277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207397260680131-0.207406984542526)×R²
    abs(2.36535044-2.36530250)×9.7238623943674e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.7238623943674e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.7238623943674e-06×40589641000000     		ar = 4011.55564759584m²