Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114877 / 18489
↖ ↑ ↗
← N 78.029562°
E135.519104°		 ← 63.35 m → N 78.029562°
E135.521851°		 →
↑
63.33 m
↓
↑
63.33 m
↓
N 78.028992°
E135.519104°		 ← 63.35 m →
4 012 m²		 N 78.028992°
E135.521851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876445770263672 y=0.141063690185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876445770263672 × 217)
    floor (0.876445770263672 × 131072)
    floor (114877.5)     		tx = 114877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141063690185547 × 217)
    floor (0.141063690185547 × 131072)
    floor (18489.5)     		ty = 18489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114877 / 18489 ti = "17/114877/18489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114877/18489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114877 ÷ 217
    114877 ÷ 131072     		x = 0.876441955566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18489 ÷ 217
    18489 ÷ 131072     		y = 0.141059875488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876441955566406 × 2 - 1) × π
    0.752883911132812 × 3.1415926535     		Λ = 2.36525456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141059875488281 × 2 - 1) × π
    0.717880249023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.25528731642478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36525456} λ = 2.36525456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25528731642478))-π/2
    2×atan(9.53803335014028)-π/2
    2×1.46633454799547-π/2
    2.93266909599095-1.57079632675     		φ = 1.36187277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36525456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.519104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36187277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.029562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114877 KachelY 18489 2.36525456 1.36187277 135.519104 78.029562
    Oben rechts KachelX + 1 114878 KachelY 18489 2.36530250 1.36187277 135.521851 78.029562
    Unten links KachelX 114877 KachelY + 1 18490 2.36525456 1.36186283 135.519104 78.028992
    Unten rechts KachelX + 1 114878 KachelY + 1 18490 2.36530250 1.36186283 135.521851 78.028992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36187277-1.36186283) × R
    9.93999999998607e-06 × 6371000     		dl = 63.3277399999113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36187277-1.36186283) × R
    9.93999999998607e-06 × 6371000     		dr = 63.3277399999113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36525456-2.36530250) × cos(1.36187277) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207406984542526 × 6371000     		do = 63.3474317350279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36525456-2.36530250) × cos(1.36186283) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207416708384428 × 6371000     		du = 63.3504016466364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36187277)-sin(1.36186283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207406984542526-0.207416708384428)×R²
    abs(2.36530250-2.36525456)×9.7238419018153e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.7238419018153e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.7238419018153e-06×40589641000000     		ar = 4011.74372544209m²