Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114871 / 18519
↖ ↑ ↗
← N 78.012460°
E135.502624°		 ← 63.44 m → N 78.012460°
E135.505371°		 →
↑
63.46 m
↓
↑
63.46 m
↓
N 78.011890°
E135.502624°		 ← 63.44 m →
4 025 m²		 N 78.011890°
E135.505371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876399993896484 y=0.141292572021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876399993896484 × 217)
    floor (0.876399993896484 × 131072)
    floor (114871.5)     		tx = 114871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141292572021484 × 217)
    floor (0.141292572021484 × 131072)
    floor (18519.5)     		ty = 18519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114871 / 18519 ti = "17/114871/18519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114871/18519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114871 ÷ 217
    114871 ÷ 131072     		x = 0.876396179199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18519 ÷ 217
    18519 ÷ 131072     		y = 0.141288757324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876396179199219 × 2 - 1) × π
    0.752792358398438 × 3.1415926535     		Λ = 2.36496694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141288757324219 × 2 - 1) × π
    0.717422485351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.25384920943618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36496694} λ = 2.36496694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25384920943618))-π/2
    2×atan(9.52432649604558)-π/2
    2×1.46618530632556-π/2
    2.93237061265112-1.57079632675     		φ = 1.36157429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36496694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.502624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36157429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.012460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114871 KachelY 18519 2.36496694 1.36157429 135.502624 78.012460
    Oben rechts KachelX + 1 114872 KachelY 18519 2.36501488 1.36157429 135.505371 78.012460
    Unten links KachelX 114871 KachelY + 1 18520 2.36496694 1.36156433 135.502624 78.011890
    Unten rechts KachelX + 1 114872 KachelY + 1 18520 2.36501488 1.36156433 135.505371 78.011890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36157429-1.36156433) × R
    9.96000000008657e-06 × 6371000     		dl = 63.4551600005515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36157429-1.36156433) × R
    9.96000000008657e-06 × 6371000     		dr = 63.4551600005515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36496694-2.36501488) × cos(1.36157429) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20769896477499 × 6371000     		do = 63.4366100135937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36496694-2.36501488) × cos(1.36156433) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207708707564905 × 6371000     		du = 63.4395857124131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36157429)-sin(1.36156433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20769896477499-0.207708707564905)×R²
    abs(2.36501488-2.36496694)×9.74278991491828e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.74278991491828e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.74278991491828e-06×40589641000000     		ar = 4025.47464998526m²