Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114847 / 18474
↖ ↑ ↗
← N 78.038104°
E135.436707°		 ← 63.29 m → N 78.038104°
E135.439453°		 →
↑
63.26 m
↓
↑
63.26 m
↓
N 78.037535°
E135.436707°		 ← 63.29 m →
4 004 m²		 N 78.037535°
E135.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876216888427734 y=0.140949249267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876216888427734 × 217)
    floor (0.876216888427734 × 131072)
    floor (114847.5)     		tx = 114847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140949249267578 × 217)
    floor (0.140949249267578 × 131072)
    floor (18474.5)     		ty = 18474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114847 / 18474 ti = "17/114847/18474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114847/18474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114847 ÷ 217
    114847 ÷ 131072     		x = 0.876213073730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18474 ÷ 217
    18474 ÷ 131072     		y = 0.140945434570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876213073730469 × 2 - 1) × π
    0.752426147460938 × 3.1415926535     		Λ = 2.36381646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140945434570312 × 2 - 1) × π
    0.718109130859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25600636991908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36381646} λ = 2.36381646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25600636991908))-π/2
    2×atan(9.54489417270306)-π/2
    2×1.46640909013377-π/2
    2.93281818026755-1.57079632675     		φ = 1.36202185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36381646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.436707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36202185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.038104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114847 KachelY 18474 2.36381646 1.36202185 135.436707 78.038104
    Oben rechts KachelX + 1 114848 KachelY 18474 2.36386439 1.36202185 135.439453 78.038104
    Unten links KachelX 114847 KachelY + 1 18475 2.36381646 1.36201192 135.436707 78.037535
    Unten rechts KachelX + 1 114848 KachelY + 1 18475 2.36386439 1.36201192 135.439453 78.037535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36202185-1.36201192) × R
    9.93000000004685e-06 × 6371000     		dl = 63.2640300002985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36202185-1.36201192) × R
    9.93000000004685e-06 × 6371000     		dr = 63.2640300002985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36381646-2.36386439) × cos(1.36202185) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207261144021142 × 6371000     		do = 63.2896836784572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36381646-2.36386439) × cos(1.36201192) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207270858387455 × 6371000     		du = 63.2926500770744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36202185)-sin(1.36201192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207261144021142-0.207270858387455)×R²
    abs(2.36386439-2.36381646)×9.71436631222455e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.71436631222455e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.71436631222455e-06×40589641000000     		ar = 4004.05428013439m²