Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114845 / 18301
↖ ↑ ↗
← N 78.136187°
E135.431213°		 ← 62.79 m → N 78.136187°
E135.433960°		 →
↑
62.75 m
↓
↑
62.75 m
↓
N 78.135623°
E135.431213°		 ← 62.79 m →
3 941 m²		 N 78.135623°
E135.433960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876201629638672 y=0.139629364013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876201629638672 × 217)
    floor (0.876201629638672 × 131072)
    floor (114845.5)     		tx = 114845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139629364013672 × 217)
    floor (0.139629364013672 × 131072)
    floor (18301.5)     		ty = 18301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114845 / 18301 ti = "17/114845/18301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114845/18301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114845 ÷ 217
    114845 ÷ 131072     		x = 0.876197814941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18301 ÷ 217
    18301 ÷ 131072     		y = 0.139625549316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876197814941406 × 2 - 1) × π
    0.752395629882812 × 3.1415926535     		Λ = 2.36372058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139625549316406 × 2 - 1) × π
    0.720748901367188 × 3.1415926535     		Φ = 2.26429945355335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36372058} λ = 2.36372058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26429945355335))-π/2
    2×atan(9.62437991375298)-π/2
    2×1.46726502988332-π/2
    2.93453005976664-1.57079632675     		φ = 1.36373373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36372058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.431213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36373373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.136187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114845 KachelY 18301 2.36372058 1.36373373 135.431213 78.136187
    Oben rechts KachelX + 1 114846 KachelY 18301 2.36376852 1.36373373 135.433960 78.136187
    Unten links KachelX 114845 KachelY + 1 18302 2.36372058 1.36372388 135.431213 78.135623
    Unten rechts KachelX + 1 114846 KachelY + 1 18302 2.36376852 1.36372388 135.433960 78.135623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36373373-1.36372388) × R
    9.85000000008895e-06 × 6371000     		dl = 62.7543500005667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36373373-1.36372388) × R
    9.85000000008895e-06 × 6371000     		dr = 62.7543500005667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36372058-2.36376852) × cos(1.36373373) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205586133503299 × 6371000     		do = 62.7912969589427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36372058-2.36376852) × cos(1.36372388) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205595773087724 × 6371000     		du = 62.7942411361491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36373373)-sin(1.36372388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205586133503299-0.205595773087724)×R²
    abs(2.36376852-2.36372058)×9.63958442523616e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.63958442523616e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.63958442523616e-06×40589641000000     		ar = 3940.51940631073m²