Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114838 / 18283
↖ ↑ ↗
← N 78.146347°
E135.411988°		 ← 62.73 m → N 78.146347°
E135.414734°		 →
↑
62.75 m
↓
↑
62.75 m
↓
N 78.145782°
E135.411988°		 ← 62.73 m →
3 936 m²		 N 78.145782°
E135.414734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876148223876953 y=0.139492034912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876148223876953 × 217)
    floor (0.876148223876953 × 131072)
    floor (114838.5)     		tx = 114838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139492034912109 × 217)
    floor (0.139492034912109 × 131072)
    floor (18283.5)     		ty = 18283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114838 / 18283 ti = "17/114838/18283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114838/18283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114838 ÷ 217
    114838 ÷ 131072     		x = 0.876144409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18283 ÷ 217
    18283 ÷ 131072     		y = 0.139488220214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876144409179688 × 2 - 1) × π
    0.752288818359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.36338503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139488220214844 × 2 - 1) × π
    0.721023559570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.26516231774651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36338503} λ = 2.36338503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26516231774651))-π/2
    2×atan(9.63268803043465)-π/2
    2×1.46735368889966-π/2
    2.93470737779931-1.57079632675     		φ = 1.36391105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36338503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.411988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36391105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.146347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114838 KachelY 18283 2.36338503 1.36391105 135.411988 78.146347
    Oben rechts KachelX + 1 114839 KachelY 18283 2.36343296 1.36391105 135.414734 78.146347
    Unten links KachelX 114838 KachelY + 1 18284 2.36338503 1.36390120 135.411988 78.145782
    Unten rechts KachelX + 1 114839 KachelY + 1 18284 2.36343296 1.36390120 135.414734 78.145782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36391105-1.36390120) × R
    9.85000000008895e-06 × 6371000     		dl = 62.7543500005667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36391105-1.36390120) × R
    9.85000000008895e-06 × 6371000     		dr = 62.7543500005667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36338503-2.36343296) × cos(1.36391105) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205412598000195 × 6371000     		do = 62.7252079129519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36338503-2.36343296) × cos(1.36390120) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205422237943554 × 6371000     		du = 62.7281515856251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36391105)-sin(1.36390120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205412598000195-0.205422237943554)×R²
    abs(2.36343296-2.36338503)×9.63994335928531e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.63994335928531e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.63994335928531e-06×40589641000000     		ar = 3936.37201541962m²