Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114821 / 18278
↖ ↑ ↗
← N 78.149167°
E135.365296°		 ← 62.71 m → N 78.149167°
E135.368042°		 →
↑
62.75 m
↓
↑
62.75 m
↓
N 78.148603°
E135.365296°		 ← 62.71 m →
3 935 m²		 N 78.148603°
E135.368042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876018524169922 y=0.139453887939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876018524169922 × 217)
    floor (0.876018524169922 × 131072)
    floor (114821.5)     		tx = 114821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139453887939453 × 217)
    floor (0.139453887939453 × 131072)
    floor (18278.5)     		ty = 18278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114821 / 18278 ti = "17/114821/18278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114821/18278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114821 ÷ 217
    114821 ÷ 131072     		x = 0.876014709472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18278 ÷ 217
    18278 ÷ 131072     		y = 0.139450073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876014709472656 × 2 - 1) × π
    0.752029418945312 × 3.1415926535     		Λ = 2.36257010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139450073242188 × 2 - 1) × π
    0.721099853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26540200224461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36257010} λ = 2.36257010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26540200224461))-π/2
    2×atan(9.6349971131452)-π/2
    2×1.46737830312022-π/2
    2.93475660624045-1.57079632675     		φ = 1.36396028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36257010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.365296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36396028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.149167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114821 KachelY 18278 2.36257010 1.36396028 135.365296 78.149167
    Oben rechts KachelX + 1 114822 KachelY 18278 2.36261803 1.36396028 135.368042 78.149167
    Unten links KachelX 114821 KachelY + 1 18279 2.36257010 1.36395043 135.365296 78.148603
    Unten rechts KachelX + 1 114822 KachelY + 1 18279 2.36261803 1.36395043 135.368042 78.148603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36396028-1.36395043) × R
    9.84999999986691e-06 × 6371000     		dl = 62.7543499991521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36396028-1.36395043) × R
    9.84999999986691e-06 × 6371000     		dr = 62.7543499991521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36257010-2.36261803) × cos(1.36396028) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205364417558185 × 6371000     		do = 62.7104954353733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36257010-2.36261803) × cos(1.36395043) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205374057601142 × 6371000     		du = 62.7134391384601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36396028)-sin(1.36395043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205364417558185-0.205374057601142)×R²
    abs(2.36261803-2.36257010)×9.64004295747611e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.64004295747611e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.64004295747611e-06×40589641000000     		ar = 3935.44874427035m²