Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114821 / 18277
↖ ↑ ↗
← N 78.149731°
E135.365296°		 ← 62.71 m → N 78.149731°
E135.368042°		 →
↑
62.69 m
↓
↑
62.69 m
↓
N 78.149167°
E135.365296°		 ← 62.71 m →
3 931 m²		 N 78.149167°
E135.368042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876018524169922 y=0.139446258544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876018524169922 × 217)
    floor (0.876018524169922 × 131072)
    floor (114821.5)     		tx = 114821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139446258544922 × 217)
    floor (0.139446258544922 × 131072)
    floor (18277.5)     		ty = 18277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114821 / 18277 ti = "17/114821/18277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114821/18277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114821 ÷ 217
    114821 ÷ 131072     		x = 0.876014709472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18277 ÷ 217
    18277 ÷ 131072     		y = 0.139442443847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876014709472656 × 2 - 1) × π
    0.752029418945312 × 3.1415926535     		Λ = 2.36257010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139442443847656 × 2 - 1) × π
    0.721115112304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.26544993914423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36257010} λ = 2.36257010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26544993914423))-π/2
    2×atan(9.63545899610518)-π/2
    2×1.46738322527151-π/2
    2.93476645054302-1.57079632675     		φ = 1.36397012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36257010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.365296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36397012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.149731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114821 KachelY 18277 2.36257010 1.36397012 135.365296 78.149731
    Oben rechts KachelX + 1 114822 KachelY 18277 2.36261803 1.36397012 135.368042 78.149731
    Unten links KachelX 114821 KachelY + 1 18278 2.36257010 1.36396028 135.365296 78.149167
    Unten rechts KachelX + 1 114822 KachelY + 1 18278 2.36261803 1.36396028 135.368042 78.149167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36397012-1.36396028) × R
    9.84000000014973e-06 × 6371000     		dl = 62.6906400009539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36397012-1.36396028) × R
    9.84000000014973e-06 × 6371000     		dr = 62.6906400009539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36257010-2.36261803) × cos(1.36397012) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205354787282178 × 6371000     		do = 62.7075547147424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36257010-2.36261803) × cos(1.36396028) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205364417558185 × 6371000     		du = 62.7104954353733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36397012)-sin(1.36396028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205354787282178-0.205364417558185)×R²
    abs(2.36261803-2.36257010)×9.63027600672794e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.63027600672794e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.63027600672794e-06×40589641000000     		ar = 3931.26891584591m²