Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114818 / 18273
↖ ↑ ↗
← N 78.151988°
E135.357056°		 ← 62.70 m → N 78.151988°
E135.359802°		 →
↑
62.75 m
↓
↑
62.75 m
↓
N 78.151423°
E135.357056°		 ← 62.70 m →
3 935 m²		 N 78.151423°
E135.359802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875995635986328 y=0.139415740966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875995635986328 × 217)
    floor (0.875995635986328 × 131072)
    floor (114818.5)     		tx = 114818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139415740966797 × 217)
    floor (0.139415740966797 × 131072)
    floor (18273.5)     		ty = 18273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114818 / 18273 ti = "17/114818/18273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114818/18273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114818 ÷ 217
    114818 ÷ 131072     		x = 0.875991821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18273 ÷ 217
    18273 ÷ 131072     		y = 0.139411926269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875991821289062 × 2 - 1) × π
    0.751983642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.36242629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139411926269531 × 2 - 1) × π
    0.721176147460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.26564168674271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36242629} λ = 2.36242629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26564168674271))-π/2
    2×atan(9.6373067493734)-π/2
    2×1.46740291156757-π/2
    2.93480582313514-1.57079632675     		φ = 1.36400950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36242629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.357056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36400950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.151988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114818 KachelY 18273 2.36242629 1.36400950 135.357056 78.151988
    Oben rechts KachelX + 1 114819 KachelY 18273 2.36247422 1.36400950 135.359802 78.151988
    Unten links KachelX 114818 KachelY + 1 18274 2.36242629 1.36399965 135.357056 78.151423
    Unten rechts KachelX + 1 114819 KachelY + 1 18274 2.36247422 1.36399965 135.359802 78.151423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36400950-1.36399965) × R
    9.85000000008895e-06 × 6371000     		dl = 62.7543500005667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36400950-1.36399965) × R
    9.85000000008895e-06 × 6371000     		dr = 62.7543500005667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36242629-2.36247422) × cos(1.36400950) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205316246405411 × 6371000     		do = 62.695785794375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36242629-2.36247422) × cos(1.36399965) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205325886547924 × 6371000     		du = 62.6987295278621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36400950)-sin(1.36399965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205316246405411-0.205325886547924)×R²
    abs(2.36247422-2.36242629)×9.640142512507e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.640142512507e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.640142512507e-06×40589641000000     		ar = 3934.5256513125m²