Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114815 / 18305
↖ ↑ ↗
← N 78.133929°
E135.348816°		 ← 62.79 m → N 78.133929°
E135.351562°		 →
↑
62.82 m
↓
↑
62.82 m
↓
N 78.133364°
E135.348816°		 ← 62.79 m →
3 944 m²		 N 78.133364°
E135.351562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875972747802734 y=0.139659881591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875972747802734 × 217)
    floor (0.875972747802734 × 131072)
    floor (114815.5)     		tx = 114815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139659881591797 × 217)
    floor (0.139659881591797 × 131072)
    floor (18305.5)     		ty = 18305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114815 / 18305 ti = "17/114815/18305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114815/18305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114815 ÷ 217
    114815 ÷ 131072     		x = 0.875968933105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18305 ÷ 217
    18305 ÷ 131072     		y = 0.139656066894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875968933105469 × 2 - 1) × π
    0.751937866210938 × 3.1415926535     		Λ = 2.36228248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139656066894531 × 2 - 1) × π
    0.720687866210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.26410770595487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36228248} λ = 2.36228248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26410770595487))-π/2
    2×atan(9.62253463893681)-π/2
    2×1.46724531771046-π/2
    2.93449063542092-1.57079632675     		φ = 1.36369431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36228248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.348816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36369431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.133929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114815 KachelY 18305 2.36228248 1.36369431 135.348816 78.133929
    Oben rechts KachelX + 1 114816 KachelY 18305 2.36233041 1.36369431 135.351562 78.133929
    Unten links KachelX 114815 KachelY + 1 18306 2.36228248 1.36368445 135.348816 78.133364
    Unten rechts KachelX + 1 114816 KachelY + 1 18306 2.36233041 1.36368445 135.351562 78.133364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36369431-1.36368445) × R
    9.86000000002818e-06 × 6371000     		dl = 62.8180600001795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36369431-1.36368445) × R
    9.86000000002818e-06 × 6371000     		dr = 62.8180600001795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36228248-2.36233041) × cos(1.36369431) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20562471129393 × 6371000     		do = 62.7899792589168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36228248-2.36233041) × cos(1.36368445) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205634360584808 × 6371000     		du = 62.7929257859674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36369431)-sin(1.36368445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20562471129393-0.205634360584808)×R²
    abs(2.36233041-2.36228248)×9.64929087834965e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.64929087834965e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.64929087834965e-06×40589641000000     		ar = 3944.43723198641m²