Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114812 / 18310
↖ ↑ ↗
← N 78.131104°
E135.340576°		 ← 62.80 m → N 78.131104°
E135.343323°		 →
↑
62.82 m
↓
↑
62.82 m
↓
N 78.130539°
E135.340576°		 ← 62.81 m →
3 945 m²		 N 78.130539°
E135.343323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875949859619141 y=0.139698028564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875949859619141 × 217)
    floor (0.875949859619141 × 131072)
    floor (114812.5)     		tx = 114812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139698028564453 × 217)
    floor (0.139698028564453 × 131072)
    floor (18310.5)     		ty = 18310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114812 / 18310 ti = "17/114812/18310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114812/18310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114812 ÷ 217
    114812 ÷ 131072     		x = 0.875946044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18310 ÷ 217
    18310 ÷ 131072     		y = 0.139694213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875946044921875 × 2 - 1) × π
    0.75189208984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.36213867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139694213867188 × 2 - 1) × π
    0.720611572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26386802145677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36213867} λ = 2.36213867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26386802145677))-π/2
    2×atan(9.6202285429302)-π/2
    2×1.46722067229211-π/2
    2.93444134458423-1.57079632675     		φ = 1.36364502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36213867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.340576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36364502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.131104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114812 KachelY 18310 2.36213867 1.36364502 135.340576 78.131104
    Oben rechts KachelX + 1 114813 KachelY 18310 2.36218660 1.36364502 135.343323 78.131104
    Unten links KachelX 114812 KachelY + 1 18311 2.36213867 1.36363516 135.340576 78.130539
    Unten rechts KachelX + 1 114813 KachelY + 1 18311 2.36218660 1.36363516 135.343323 78.130539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36364502-1.36363516) × R
    9.86000000002818e-06 × 6371000     		dl = 62.8180600001795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36364502-1.36363516) × R
    9.86000000002818e-06 × 6371000     		dr = 62.8180600001795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36213867-2.36218660) × cos(1.36364502) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.205672947762187 × 6371000     		do = 62.804708844202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36213867-2.36218660) × cos(1.36363516) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.205682596953118 × 6371000     		du = 62.8076553407324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36364502)-sin(1.36363516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205672947762187-0.205682596953118)×R²
    abs(2.36218660-2.36213867)×9.64919093079941e-06×R²
    4.79299999995852e-05×9.64919093079941e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×9.64919093079941e-06×40589641000000     		ar = 3945.36251504239m²