Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114809 / 18315
↖ ↑ ↗
← N 78.128280°
E135.332336°		 ← 62.83 m → N 78.128280°
E135.335083°		 →
↑
62.88 m
↓
↑
62.88 m
↓
N 78.127714°
E135.332336°		 ← 62.84 m →
3 951 m²		 N 78.127714°
E135.335083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875926971435547 y=0.139736175537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875926971435547 × 217)
    floor (0.875926971435547 × 131072)
    floor (114809.5)     		tx = 114809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139736175537109 × 217)
    floor (0.139736175537109 × 131072)
    floor (18315.5)     		ty = 18315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114809 / 18315 ti = "17/114809/18315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114809/18315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114809 ÷ 217
    114809 ÷ 131072     		x = 0.875923156738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18315 ÷ 217
    18315 ÷ 131072     		y = 0.139732360839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875923156738281 × 2 - 1) × π
    0.751846313476562 × 3.1415926535     		Λ = 2.36199485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139732360839844 × 2 - 1) × π
    0.720535278320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.26362833695867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36199485} λ = 2.36199485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26362833695867))-π/2
    2×atan(9.61792299959282)-π/2
    2×1.46719602109225-π/2
    2.93439204218451-1.57079632675     		φ = 1.36359572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36199485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.332336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36359572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.128280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114809 KachelY 18315 2.36199485 1.36359572 135.332336 78.128280
    Oben rechts KachelX + 1 114810 KachelY 18315 2.36204279 1.36359572 135.335083 78.128280
    Unten links KachelX 114809 KachelY + 1 18316 2.36199485 1.36358585 135.332336 78.127714
    Unten rechts KachelX + 1 114810 KachelY + 1 18316 2.36204279 1.36358585 135.335083 78.127714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36359572-1.36358585) × R
    9.8699999999674e-06 × 6371000     		dl = 62.8817699997923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36359572-1.36358585) × R
    9.8699999999674e-06 × 6371000     		dr = 62.8817699997923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36199485-2.36204279) × cos(1.36359572) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205721193516868 × 6371000     		do = 62.8325477635314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36199485-2.36204279) × cos(1.36358585) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205730852393894 × 6371000     		du = 62.8354978331945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36359572)-sin(1.36358585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205721193516868-0.205730852393894)×R²
    abs(2.36204279-2.36199485)×9.65887702558677e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.65887702558677e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.65887702558677e-06×40589641000000     		ar = 3951.11456978972m²