Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1148 / 1212
↖ ↑ ↗
← S 31.353637°
E 21.796875°		 ← 16.692 km → S 31.353637°
E 21.972656°		 →
↑
16.678 km
↓
↑
16.678 km
↓
S 31.503629°
E 21.796875°		 ← 16.665 km →
278.169 km²		 S 31.503629°
E 21.972656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560791015625 y=0.592041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560791015625 × 211)
    floor (0.560791015625 × 2048)
    floor (1148.5)     		tx = 1148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592041015625 × 211)
    floor (0.592041015625 × 2048)
    floor (1212.5)     		ty = 1212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1148 / 1212 ti = "11/1148/1212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1148/1212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1148 ÷ 211
    1148 ÷ 2048     		x = 0.560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1212 ÷ 211
    1212 ÷ 2048     		y = 0.591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560546875 × 2 - 1) × π
    0.12109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38042724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591796875 × 2 - 1) × π
    -0.18359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.576776776228516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38042724} λ = 0.38042724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576776776228516))-π/2
    2×atan(0.561705955857573)-π/2
    2×0.511786064852429-π/2
    1.02357212970486-1.57079632675     		φ = -0.54722420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38042724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54722420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.353637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1148 KachelY 1212 0.38042724 -0.54722420 21.796875 -31.353637
    Oben rechts KachelX + 1 1149 KachelY 1212 0.38349520 -0.54722420 21.972656 -31.353637
    Unten links KachelX 1148 KachelY + 1 1213 0.38042724 -0.54984206 21.796875 -31.503629
    Unten rechts KachelX + 1 1149 KachelY + 1 1213 0.38349520 -0.54984206 21.972656 -31.503629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54722420--0.54984206) × R
    0.00261785999999997 × 6371000     		dl = 16678.3860599998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54722420--0.54984206) × R
    0.00261785999999997 × 6371000     		dr = 16678.3860599998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38042724-0.38349520) × cos(-0.54722420) × R
    0.00306795999999998 × 0.853972111029799 × 6371000     		do = 16691.7159615769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38042724-0.38349520) × cos(-0.54984206) × R
    0.00306795999999998 × 0.852607064646969 × 6371000     		du = 16665.0348016159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54722420)-sin(-0.54984206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853972111029799-0.852607064646969)×R²
    abs(0.38349520-0.38042724)×0.00136504638282942×R²
    0.00306795999999998×0.00136504638282942×6371000²
    0.00306795999999998×0.00136504638282942×40589641000000     		ar = 278168542.329726m²