Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1148 / 1196
↖ ↑ ↗
← S 28.921631°
E 21.796875°		 ← 17.108 km → S 28.921631°
E 21.972656°		 →
↑
17.096 km
↓
↑
17.096 km
↓
S 29.075375°
E 21.796875°		 ← 17.083 km →
292.258 km²		 S 29.075375°
E 21.972656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560791015625 y=0.584228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560791015625 × 211)
    floor (0.560791015625 × 2048)
    floor (1148.5)     		tx = 1148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584228515625 × 211)
    floor (0.584228515625 × 2048)
    floor (1196.5)     		ty = 1196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1148 / 1196 ti = "11/1148/1196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1148/1196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1148 ÷ 211
    1148 ÷ 2048     		x = 0.560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1196 ÷ 211
    1196 ÷ 2048     		y = 0.583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560546875 × 2 - 1) × π
    0.12109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38042724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583984375 × 2 - 1) × π
    -0.16796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.527689391017578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38042724} λ = 0.38042724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.527689391017578))-π/2
    2×atan(0.589966578074895)-π/2
    2×0.533009317941028-π/2
    1.06601863588206-1.57079632675     		φ = -0.50477769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38042724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50477769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.921631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1148 KachelY 1196 0.38042724 -0.50477769 21.796875 -28.921631
    Oben rechts KachelX + 1 1149 KachelY 1196 0.38349520 -0.50477769 21.972656 -28.921631
    Unten links KachelX 1148 KachelY + 1 1197 0.38042724 -0.50746103 21.796875 -29.075375
    Unten rechts KachelX + 1 1149 KachelY + 1 1197 0.38349520 -0.50746103 21.972656 -29.075375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50477769--0.50746103) × R
    0.00268334000000003 × 6371000     		dl = 17095.5591400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50477769--0.50746103) × R
    0.00268334000000003 × 6371000     		dr = 17095.5591400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38042724-0.38349520) × cos(-0.50477769) × R
    0.00306795999999998 × 0.875282008031053 × 6371000     		do = 17108.2386364058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38042724-0.38349520) × cos(-0.50746103) × R
    0.00306795999999998 × 0.873981160683682 × 6371000     		du = 17082.8123090688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50477769)-sin(-0.50746103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875282008031053-0.873981160683682)×R²
    abs(0.38349520-0.38042724)×0.00130084734737057×R²
    0.00306795999999998×0.00130084734737057×6371000²
    0.00306795999999998×0.00130084734737057×40589641000000     		ar = 292257742.110862m²