Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114788 / 18180
↖ ↑ ↗
← N 78.204318°
E135.274658°		 ← 62.44 m → N 78.204318°
E135.277405°		 →
↑
62.44 m
↓
↑
62.44 m
↓
N 78.203756°
E135.274658°		 ← 62.44 m →
3 898 m²		 N 78.203756°
E135.277405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875766754150391 y=0.138706207275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875766754150391 × 217)
    floor (0.875766754150391 × 131072)
    floor (114788.5)     		tx = 114788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138706207275391 × 217)
    floor (0.138706207275391 × 131072)
    floor (18180.5)     		ty = 18180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114788 / 18180 ti = "17/114788/18180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114788/18180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114788 ÷ 217
    114788 ÷ 131072     		x = 0.875762939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18180 ÷ 217
    18180 ÷ 131072     		y = 0.138702392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875762939453125 × 2 - 1) × π
    0.75152587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.36098818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138702392578125 × 2 - 1) × π
    0.72259521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27009981840738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36098818} λ = 2.36098818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27009981840738))-π/2
    2×atan(9.68036704466948)-π/2
    2×1.46785957796412-π/2
    2.93571915592823-1.57079632675     		φ = 1.36492283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36098818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.274658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36492283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.204318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114788 KachelY 18180 2.36098818 1.36492283 135.274658 78.204318
    Oben rechts KachelX + 1 114789 KachelY 18180 2.36103612 1.36492283 135.277405 78.204318
    Unten links KachelX 114788 KachelY + 1 18181 2.36098818 1.36491303 135.274658 78.203756
    Unten rechts KachelX + 1 114789 KachelY + 1 18181 2.36103612 1.36491303 135.277405 78.203756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36492283-1.36491303) × R
    9.79999999994874e-06 × 6371000     		dl = 62.4357999996734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36492283-1.36491303) × R
    9.79999999994874e-06 × 6371000     		dr = 62.4357999996734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36098818-2.36103612) × cos(1.36492283) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204422288767485 × 6371000     		do = 62.4358288192619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36098818-2.36103612) × cos(1.36491303) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204431881809067 × 6371000     		du = 62.4387587810859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36492283)-sin(1.36491303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204422288767485-0.204431881809067)×R²
    abs(2.36103612-2.36098818)×9.59304158199004e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.59304158199004e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.59304158199004e-06×40589641000000     		ar = 3898.32238835198m²