Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114787 / 18383
↖ ↑ ↗
← N 78.089796°
E135.271911°		 ← 63.03 m → N 78.089796°
E135.274658°		 →
↑
63.01 m
↓
↑
63.01 m
↓
N 78.089229°
E135.271911°		 ← 63.04 m →
3 972 m²		 N 78.089229°
E135.274658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875759124755859 y=0.140254974365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875759124755859 × 217)
    floor (0.875759124755859 × 131072)
    floor (114787.5)     		tx = 114787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140254974365234 × 217)
    floor (0.140254974365234 × 131072)
    floor (18383.5)     		ty = 18383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114787 / 18383 ti = "17/114787/18383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114787/18383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114787 ÷ 217
    114787 ÷ 131072     		x = 0.875755310058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18383 ÷ 217
    18383 ÷ 131072     		y = 0.140251159667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875755310058594 × 2 - 1) × π
    0.751510620117188 × 3.1415926535     		Λ = 2.36094024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140251159667969 × 2 - 1) × π
    0.719497680664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.26036862778451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36094024} λ = 2.36094024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26036862778451))-π/2
    2×atan(9.58662241087863)-π/2
    2×1.46686019011589-π/2
    2.93372038023178-1.57079632675     		φ = 1.36292405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36094024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.271911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36292405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.089796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114787 KachelY 18383 2.36094024 1.36292405 135.271911 78.089796
    Oben rechts KachelX + 1 114788 KachelY 18383 2.36098818 1.36292405 135.274658 78.089796
    Unten links KachelX 114787 KachelY + 1 18384 2.36094024 1.36291416 135.271911 78.089229
    Unten rechts KachelX + 1 114788 KachelY + 1 18384 2.36098818 1.36291416 135.274658 78.089229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36292405-1.36291416) × R
    9.88999999984586e-06 × 6371000     		dl = 63.0091899990179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36292405-1.36291416) × R
    9.88999999984586e-06 × 6371000     		dr = 63.0091899990179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36094024-2.36098818) × cos(1.36292405) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206378450473422 × 6371000     		do = 63.0332909558569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36094024-2.36098818) × cos(1.36291416) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206388127553836 × 6371000     		du = 63.0362465853035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36292405)-sin(1.36291416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206378450473422-0.206388127553836)×R²
    abs(2.36098818-2.36094024)×9.67708041435533e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.67708041435533e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.67708041435533e-06×40589641000000     		ar = 3971.7697220335m²