Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114787 / 18199
↖ ↑ ↗
← N 78.193645°
E135.271911°		 ← 62.49 m → N 78.193645°
E135.274658°		 →
↑
62.50 m
↓
↑
62.50 m
↓
N 78.193083°
E135.271911°		 ← 62.49 m →
3 906 m²		 N 78.193083°
E135.274658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875759124755859 y=0.138851165771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875759124755859 × 217)
    floor (0.875759124755859 × 131072)
    floor (114787.5)     		tx = 114787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138851165771484 × 217)
    floor (0.138851165771484 × 131072)
    floor (18199.5)     		ty = 18199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114787 / 18199 ti = "17/114787/18199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114787/18199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114787 ÷ 217
    114787 ÷ 131072     		x = 0.875755310058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18199 ÷ 217
    18199 ÷ 131072     		y = 0.138847351074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875755310058594 × 2 - 1) × π
    0.751510620117188 × 3.1415926535     		Λ = 2.36094024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138847351074219 × 2 - 1) × π
    0.722305297851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.2691890173146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36094024} λ = 2.36094024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2691890173146))-π/2
    2×atan(9.67155416978395)-π/2
    2×1.46776644243013-π/2
    2.93553288486026-1.57079632675     		φ = 1.36473656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36094024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.271911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36473656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.193645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114787 KachelY 18199 2.36094024 1.36473656 135.271911 78.193645
    Oben rechts KachelX + 1 114788 KachelY 18199 2.36098818 1.36473656 135.274658 78.193645
    Unten links KachelX 114787 KachelY + 1 18200 2.36094024 1.36472675 135.271911 78.193083
    Unten rechts KachelX + 1 114788 KachelY + 1 18200 2.36098818 1.36472675 135.274658 78.193083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36473656-1.36472675) × R
    9.81000000011001e-06 × 6371000     		dl = 62.4995100007009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36473656-1.36472675) × R
    9.81000000011001e-06 × 6371000     		dr = 62.4995100007009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36094024-2.36098818) × cos(1.36473656) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204604621718428 × 6371000     		do = 62.4915179957301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36094024-2.36098818) × cos(1.36472675) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204614224175101 × 6371000     		du = 62.494450833165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36473656)-sin(1.36472675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204604621718428-0.204614224175101)×R²
    abs(2.36098818-2.36094024)×9.60245667205872e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.60245667205872e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.60245667205872e-06×40589641000000     		ar = 3905.78090459255m²