Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114786 / 18372
↖ ↑ ↗
← N 78.096030°
E135.269165°		 ← 62.99 m → N 78.096030°
E135.271911°		 →
↑
63.01 m
↓
↑
63.01 m
↓
N 78.095463°
E135.269165°		 ← 62.99 m →
3 969 m²		 N 78.095463°
E135.271911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875751495361328 y=0.140171051025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875751495361328 × 217)
    floor (0.875751495361328 × 131072)
    floor (114786.5)     		tx = 114786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140171051025391 × 217)
    floor (0.140171051025391 × 131072)
    floor (18372.5)     		ty = 18372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114786 / 18372 ti = "17/114786/18372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114786/18372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114786 ÷ 217
    114786 ÷ 131072     		x = 0.875747680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18372 ÷ 217
    18372 ÷ 131072     		y = 0.140167236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875747680664062 × 2 - 1) × π
    0.751495361328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.36089231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140167236328125 × 2 - 1) × π
    0.71966552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26089593368033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36089231} λ = 2.36089231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26089593368033))-π/2
    2×atan(9.59167882641859)-π/2
    2×1.46691458836704-π/2
    2.93382917673408-1.57079632675     		φ = 1.36303285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36089231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.269165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36303285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.096030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114786 KachelY 18372 2.36089231 1.36303285 135.269165 78.096030
    Oben rechts KachelX + 1 114787 KachelY 18372 2.36094024 1.36303285 135.271911 78.096030
    Unten links KachelX 114786 KachelY + 1 18373 2.36089231 1.36302296 135.269165 78.095463
    Unten rechts KachelX + 1 114787 KachelY + 1 18373 2.36094024 1.36302296 135.271911 78.095463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36303285-1.36302296) × R
    9.8900000000679e-06 × 6371000     		dl = 63.0091900004326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36303285-1.36302296) × R
    9.8900000000679e-06 × 6371000     		dr = 63.0091900004326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36089231-2.36094024) × cos(1.36303285) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206271991471827 × 6371000     		do = 62.9876340480183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36089231-2.36094024) × cos(1.36302296) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206281668774259 × 6371000     		du = 62.990589128734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36303285)-sin(1.36302296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206271991471827-0.206281668774259)×R²
    abs(2.36094024-2.36089231)×9.67730243234266e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.67730243234266e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.67730243234266e-06×40589641000000     		ar = 3968.89290013601m²