Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114768 / 18311
↖ ↑ ↗
← N 78.130539°
E135.219726°		 ← 62.82 m → N 78.130539°
E135.222473°		 →
↑
62.82 m
↓
↑
62.82 m
↓
N 78.129975°
E135.219726°		 ← 62.82 m →
3 946 m²		 N 78.129975°
E135.222473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875614166259766 y=0.139705657958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875614166259766 × 217)
    floor (0.875614166259766 × 131072)
    floor (114768.5)     		tx = 114768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139705657958984 × 217)
    floor (0.139705657958984 × 131072)
    floor (18311.5)     		ty = 18311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114768 / 18311 ti = "17/114768/18311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114768/18311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114768 ÷ 217
    114768 ÷ 131072     		x = 0.8756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18311 ÷ 217
    18311 ÷ 131072     		y = 0.139701843261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8756103515625 × 2 - 1) × π
    0.751220703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.36002944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139701843261719 × 2 - 1) × π
    0.720596313476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.26382008455715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36002944} λ = 2.36002944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26382008455715))-π/2
    2×atan(9.61976739005342)-π/2
    2×1.4672157425147-π/2
    2.93443148502941-1.57079632675     		φ = 1.36363516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36002944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.219726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36363516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.130539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114768 KachelY 18311 2.36002944 1.36363516 135.219726 78.130539
    Oben rechts KachelX + 1 114769 KachelY 18311 2.36007738 1.36363516 135.222473 78.130539
    Unten links KachelX 114768 KachelY + 1 18312 2.36002944 1.36362530 135.219726 78.129975
    Unten rechts KachelX + 1 114769 KachelY + 1 18312 2.36007738 1.36362530 135.222473 78.129975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36363516-1.36362530) × R
    9.86000000002818e-06 × 6371000     		dl = 62.8180600001795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36363516-1.36362530) × R
    9.86000000002818e-06 × 6371000     		dr = 62.8180600001795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36002944-2.36007738) × cos(1.36363516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205682596953118 × 6371000     		do = 62.8207593794866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36002944-2.36007738) × cos(1.36362530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205692246124052 × 6371000     		du = 62.8237064846596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36363516)-sin(1.36362530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205682596953118-0.205692246124052)×R²
    abs(2.36007738-2.36002944)×9.64917093440598e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.64917093440598e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.64917093440598e-06×40589641000000     		ar = 3946.37079780773m²