Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114748 / 18380
↖ ↑ ↗
← N 78.091496°
E135.164795°		 ← 63.02 m → N 78.091496°
E135.167541°		 →
↑
63.01 m
↓
↑
63.01 m
↓
N 78.090930°
E135.164795°		 ← 63.03 m →
3 971 m²		 N 78.090930°
E135.167541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875461578369141 y=0.140232086181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875461578369141 × 217)
    floor (0.875461578369141 × 131072)
    floor (114748.5)     		tx = 114748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140232086181641 × 217)
    floor (0.140232086181641 × 131072)
    floor (18380.5)     		ty = 18380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114748 / 18380 ti = "17/114748/18380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114748/18380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114748 ÷ 217
    114748 ÷ 131072     		x = 0.875457763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18380 ÷ 217
    18380 ÷ 131072     		y = 0.140228271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875457763671875 × 2 - 1) × π
    0.75091552734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.35907070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140228271484375 × 2 - 1) × π
    0.71954345703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26051243848337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35907070} λ = 2.35907070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26051243848337))-π/2
    2×atan(9.58800116888495)-π/2
    2×1.46687502878621-π/2
    2.93375005757241-1.57079632675     		φ = 1.36295373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35907070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.164795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36295373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.091496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114748 KachelY 18380 2.35907070 1.36295373 135.164795 78.091496
    Oben rechts KachelX + 1 114749 KachelY 18380 2.35911864 1.36295373 135.167541 78.091496
    Unten links KachelX 114748 KachelY + 1 18381 2.35907070 1.36294384 135.164795 78.090930
    Unten rechts KachelX + 1 114749 KachelY + 1 18381 2.35911864 1.36294384 135.167541 78.090930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36295373-1.36294384) × R
    9.8900000000679e-06 × 6371000     		dl = 63.0091900004326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36295373-1.36294384) × R
    9.8900000000679e-06 × 6371000     		dr = 63.0091900004326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35907070-2.35911864) × cos(1.36295373) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20634940932628 × 6371000     		do = 63.0244210420008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35907070-2.35911864) × cos(1.36294384) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206359086467271 × 6371000     		du = 63.027376689949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36295373)-sin(1.36294384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20634940932628-0.206359086467271)×R²
    abs(2.35911864-2.35907070)×9.6771409910934e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.6771409910934e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.6771409910934e-06×40589641000000     		ar = 3971.21083664925m²