Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114747 / 18366
↖ ↑ ↗
← N 78.099428°
E135.162049°		 ← 62.97 m → N 78.099428°
E135.164795°		 →
↑
63.01 m
↓
↑
63.01 m
↓
N 78.098862°
E135.162049°		 ← 62.97 m →
3 968 m²		 N 78.098862°
E135.164795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875453948974609 y=0.140125274658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875453948974609 × 217)
    floor (0.875453948974609 × 131072)
    floor (114747.5)     		tx = 114747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140125274658203 × 217)
    floor (0.140125274658203 × 131072)
    floor (18366.5)     		ty = 18366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114747 / 18366 ti = "17/114747/18366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114747/18366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114747 ÷ 217
    114747 ÷ 131072     		x = 0.875450134277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18366 ÷ 217
    18366 ÷ 131072     		y = 0.140121459960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875450134277344 × 2 - 1) × π
    0.750900268554688 × 3.1415926535     		Λ = 2.35902277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140121459960938 × 2 - 1) × π
    0.719757080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26118355507805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35902277} λ = 2.35902277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26118355507805))-π/2
    2×atan(9.59443799526811)-π/2
    2×1.46694424831239-π/2
    2.93388849662479-1.57079632675     		φ = 1.36309217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35902277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.162049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36309217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.099428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114747 KachelY 18366 2.35902277 1.36309217 135.162049 78.099428
    Oben rechts KachelX + 1 114748 KachelY 18366 2.35907070 1.36309217 135.164795 78.099428
    Unten links KachelX 114747 KachelY + 1 18367 2.35902277 1.36308228 135.162049 78.098862
    Unten rechts KachelX + 1 114748 KachelY + 1 18367 2.35907070 1.36308228 135.164795 78.098862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36309217-1.36308228) × R
    9.8900000000679e-06 × 6371000     		dl = 63.0091900004326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36309217-1.36308228) × R
    9.8900000000679e-06 × 6371000     		dr = 63.0091900004326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35902277-2.35907070) × cos(1.36309217) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206213946803711 × 6371000     		do = 62.9699094103318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35902277-2.35907070) × cos(1.36308228) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206223624227144 × 6371000     		du = 62.9728645279964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36309217)-sin(1.36308228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206213946803711-0.206223624227144)×R²
    abs(2.35907070-2.35902277)×9.67742343271905e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.67742343271905e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.67742343271905e-06×40589641000000     		ar = 3967.77608630907m²