Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114720 / 18261
↖ ↑ ↗
← N 78.158752°
E135.087891°		 ← 62.67 m → N 78.158752°
E135.090637°		 →
↑
62.69 m
↓
↑
62.69 m
↓
N 78.158189°
E135.087891°		 ← 62.68 m →
3 929 m²		 N 78.158189°
E135.090637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875247955322266 y=0.139324188232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875247955322266 × 217)
    floor (0.875247955322266 × 131072)
    floor (114720.5)     		tx = 114720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139324188232422 × 217)
    floor (0.139324188232422 × 131072)
    floor (18261.5)     		ty = 18261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114720 / 18261 ti = "17/114720/18261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114720/18261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114720 ÷ 217
    114720 ÷ 131072     		x = 0.875244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18261 ÷ 217
    18261 ÷ 131072     		y = 0.139320373535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875244140625 × 2 - 1) × π
    0.75048828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35772847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139320373535156 × 2 - 1) × π
    0.721359252929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.26621692953815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35772847} λ = 2.35772847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26621692953815))-π/2
    2×atan(9.64285213546721)-π/2
    2×1.46746194829419-π/2
    2.93492389658839-1.57079632675     		φ = 1.36412757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35772847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36412757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.158752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114720 KachelY 18261 2.35772847 1.36412757 135.087891 78.158752
    Oben rechts KachelX + 1 114721 KachelY 18261 2.35777641 1.36412757 135.090637 78.158752
    Unten links KachelX 114720 KachelY + 1 18262 2.35772847 1.36411773 135.087891 78.158189
    Unten rechts KachelX + 1 114721 KachelY + 1 18262 2.35777641 1.36411773 135.090637 78.158189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36412757-1.36411773) × R
    9.83999999992768e-06 × 6371000     		dl = 62.6906399995393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36412757-1.36411773) × R
    9.83999999992768e-06 × 6371000     		dr = 62.6906399995393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35772847-2.35777641) × cos(1.36412757) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205200690375338 × 6371000     		do = 62.6735727063574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35772847-2.35777641) × cos(1.36411773) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20521032096939 × 6371000     		du = 62.6765141376725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36412757)-sin(1.36411773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205200690375338-0.20521032096939)×R²
    abs(2.35777641-2.35772847)×9.63059405242883e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.63059405242883e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.63059405242883e-06×40589641000000     		ar = 3929.13858411784m²