Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114719 / 18264
↖ ↑ ↗
← N 78.157062°
E135.085144°		 ← 62.68 m → N 78.157062°
E135.087891°		 →
↑
62.69 m
↓
↑
62.69 m
↓
N 78.156498°
E135.085144°		 ← 62.69 m →
3 930 m²		 N 78.156498°
E135.087891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875240325927734 y=0.139347076416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875240325927734 × 217)
    floor (0.875240325927734 × 131072)
    floor (114719.5)     		tx = 114719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139347076416016 × 217)
    floor (0.139347076416016 × 131072)
    floor (18264.5)     		ty = 18264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114719 / 18264 ti = "17/114719/18264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114719/18264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114719 ÷ 217
    114719 ÷ 131072     		x = 0.875236511230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18264 ÷ 217
    18264 ÷ 131072     		y = 0.13934326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875236511230469 × 2 - 1) × π
    0.750473022460938 × 3.1415926535     		Λ = 2.35768053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13934326171875 × 2 - 1) × π
    0.7213134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26607311883929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35768053} λ = 2.35768053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26607311883929))-π/2
    2×atan(9.64146548987223)-π/2
    2×1.4674471922284-π/2
    2.9348943844568-1.57079632675     		φ = 1.36409806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35768053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.085144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36409806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.157062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114719 KachelY 18264 2.35768053 1.36409806 135.085144 78.157062
    Oben rechts KachelX + 1 114720 KachelY 18264 2.35772847 1.36409806 135.087891 78.157062
    Unten links KachelX 114719 KachelY + 1 18265 2.35768053 1.36408822 135.085144 78.156498
    Unten rechts KachelX + 1 114720 KachelY + 1 18265 2.35772847 1.36408822 135.087891 78.156498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36409806-1.36408822) × R
    9.83999999992768e-06 × 6371000     		dl = 62.6906399995393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36409806-1.36408822) × R
    9.83999999992768e-06 × 6371000     		dr = 62.6906399995393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35768053-2.35772847) × cos(1.36409806) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205229572310747 × 6371000     		do = 62.6823939928524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35768053-2.35772847) × cos(1.36408822) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205239202845208 × 6371000     		du = 62.6853354059667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36409806)-sin(1.36408822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205229572310747-0.205239202845208)×R²
    abs(2.35772847-2.35768053)×9.63053446095818e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.63053446095818e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.63053446095818e-06×40589641000000     		ar = 3929.69159573523m²