Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114709 / 18425
↖ ↑ ↗
← N 78.065965°
E135.057679°		 ← 63.14 m → N 78.065965°
E135.060425°		 →
↑
63.14 m
↓
↑
63.14 m
↓
N 78.065398°
E135.057679°		 ← 63.15 m →
3 987 m²		 N 78.065398°
E135.060425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875164031982422 y=0.140575408935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875164031982422 × 217)
    floor (0.875164031982422 × 131072)
    floor (114709.5)     		tx = 114709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140575408935547 × 217)
    floor (0.140575408935547 × 131072)
    floor (18425.5)     		ty = 18425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114709 / 18425 ti = "17/114709/18425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114709/18425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114709 ÷ 217
    114709 ÷ 131072     		x = 0.875160217285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18425 ÷ 217
    18425 ÷ 131072     		y = 0.140571594238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875160217285156 × 2 - 1) × π
    0.750320434570312 × 3.1415926535     		Λ = 2.35720117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140571594238281 × 2 - 1) × π
    0.718856811523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.25835527800047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35720117} λ = 2.35720117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25835527800047))-π/2
    2×atan(9.56734060374247)-π/2
    2×1.4666522293461-π/2
    2.9333044586922-1.57079632675     		φ = 1.36250813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35720117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.057679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36250813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.065965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114709 KachelY 18425 2.35720117 1.36250813 135.057679 78.065965
    Oben rechts KachelX + 1 114710 KachelY 18425 2.35724910 1.36250813 135.060425 78.065965
    Unten links KachelX 114709 KachelY + 1 18426 2.35720117 1.36249822 135.057679 78.065398
    Unten rechts KachelX + 1 114710 KachelY + 1 18426 2.35724910 1.36249822 135.060425 78.065398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36250813-1.36249822) × R
    9.90999999994635e-06 × 6371000     		dl = 63.1366099996582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36250813-1.36249822) × R
    9.90999999994635e-06 × 6371000     		dr = 63.1366099996582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35720117-2.35724910) × cos(1.36250813) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206785398787383 × 6371000     		do = 63.1444091481134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35720117-2.35724910) × cos(1.36249822) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206795094585699 × 6371000     		du = 63.1473698767697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36250813)-sin(1.36249822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206785398787383-0.206795094585699)×R²
    abs(2.35724910-2.35720117)×9.69579831591738e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.69579831591738e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.69579831591738e-06×40589641000000     		ar = 3986.81739937942m²