Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1147 / 1411
↖ ↑ ↗
← N 75.464105°
W129.594726°		 ← 1 226.44 m → N 75.464105°
W129.550781°		 →
↑
1 226.86 m
↓
↑
1 226.86 m
↓
N 75.453072°
W129.594726°		 ← 1 227.35 m →
1 505 238 m²		 N 75.453072°
W129.550781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14007568359375 y=0.17230224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14007568359375 × 213)
    floor (0.14007568359375 × 8192)
    floor (1147.5)     		tx = 1147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17230224609375 × 213)
    floor (0.17230224609375 × 8192)
    floor (1411.5)     		ty = 1411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1147 / 1411 ti = "13/1147/1411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1147/1411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1147 ÷ 213
    1147 ÷ 8192     		x = 0.1400146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1411 ÷ 213
    1411 ÷ 8192     		y = 0.1722412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1400146484375 × 2 - 1) × π
    -0.719970703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.26185467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1722412109375 × 2 - 1) × π
    0.655517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.05936920767761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26185467} λ = -2.26185467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05936920767761))-π/2
    2×atan(7.84102219342384)-π/2
    2×1.443946713966-π/2
    2.88789342793201-1.57079632675     		φ = 1.31709710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26185467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.594726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31709710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.464105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1147 KachelY 1411 -2.26185467 1.31709710 -129.594726 75.464105
    Oben rechts KachelX + 1 1148 KachelY 1411 -2.26108768 1.31709710 -129.550781 75.464105
    Unten links KachelX 1147 KachelY + 1 1412 -2.26185467 1.31690453 -129.594726 75.453072
    Unten rechts KachelX + 1 1148 KachelY + 1 1412 -2.26108768 1.31690453 -129.550781 75.453072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31709710-1.31690453) × R
    0.000192570000000059 × 6371000     		dl = 1226.86347000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31709710-1.31690453) × R
    0.000192570000000059 × 6371000     		dr = 1226.86347000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26185467--2.26108768) × cos(1.31709710) × R
    0.000766989999999801 × 0.250986485101779 × 6371000     		do = 1226.44377533021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26185467--2.26108768) × cos(1.31690453) × R
    0.000766989999999801 × 0.251172886395047 × 6371000     		du = 1227.35462399901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31709710)-sin(1.31690453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250986485101779-0.251172886395047)×R²
    abs(-2.26108768--2.26185467)×0.000186401293268357×R²
    0.000766989999999801×0.000186401293268357×6371000²
    0.000766989999999801×0.000186401293268357×40589641000000     		ar = 1505237.81409237m²