Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114695 / 18231
↖ ↑ ↗
← N 78.175648°
E135.019226°		 ← 62.59 m → N 78.175648°
E135.021973°		 →
↑
62.56 m
↓
↑
62.56 m
↓
N 78.175086°
E135.019226°		 ← 62.59 m →
3 916 m²		 N 78.175086°
E135.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875057220458984 y=0.139095306396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875057220458984 × 217)
    floor (0.875057220458984 × 131072)
    floor (114695.5)     		tx = 114695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139095306396484 × 217)
    floor (0.139095306396484 × 131072)
    floor (18231.5)     		ty = 18231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114695 / 18231 ti = "17/114695/18231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114695/18231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114695 ÷ 217
    114695 ÷ 131072     		x = 0.875053405761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18231 ÷ 217
    18231 ÷ 131072     		y = 0.139091491699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875053405761719 × 2 - 1) × π
    0.750106811523438 × 3.1415926535     		Λ = 2.35653005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139091491699219 × 2 - 1) × π
    0.721817016601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.26765503652676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35653005} λ = 2.35653005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26765503652676))-π/2
    2×atan(9.65672956473557)-π/2
    2×1.46760939477555-π/2
    2.93521878955111-1.57079632675     		φ = 1.36442246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35653005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.019226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36442246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.175648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114695 KachelY 18231 2.35653005 1.36442246 135.019226 78.175648
    Oben rechts KachelX + 1 114696 KachelY 18231 2.35657799 1.36442246 135.021973 78.175648
    Unten links KachelX 114695 KachelY + 1 18232 2.35653005 1.36441264 135.019226 78.175086
    Unten rechts KachelX + 1 114696 KachelY + 1 18232 2.35657799 1.36441264 135.021973 78.175086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36442246-1.36441264) × R
    9.81999999982719e-06 × 6371000     		dl = 62.563219998899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36442246-1.36441264) × R
    9.81999999982719e-06 × 6371000     		dr = 62.563219998899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35653005-2.35657799) × cos(1.36442246) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204912066740948 × 6371000     		do = 62.5854196192425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35653005-2.35657799) × cos(1.36441264) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204921678354463 × 6371000     		du = 62.5883552534128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36442246)-sin(1.36441264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204912066740948-0.204921678354463)×R²
    abs(2.35657799-2.35653005)×9.61161351456519e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.61161351456519e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.61161351456519e-06×40589641000000     		ar = 3915.63720765372m²