Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114686 / 18170
↖ ↑ ↗
← N 78.209931°
E134.994507°		 ← 62.39 m → N 78.209931°
E134.997253°		 →
↑
62.44 m
↓
↑
62.44 m
↓
N 78.209369°
E134.994507°		 ← 62.40 m →
3 896 m²		 N 78.209369°
E134.997253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874988555908203 y=0.138629913330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874988555908203 × 217)
    floor (0.874988555908203 × 131072)
    floor (114686.5)     		tx = 114686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138629913330078 × 217)
    floor (0.138629913330078 × 131072)
    floor (18170.5)     		ty = 18170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114686 / 18170 ti = "17/114686/18170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114686/18170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114686 ÷ 217
    114686 ÷ 131072     		x = 0.874984741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18170 ÷ 217
    18170 ÷ 131072     		y = 0.138626098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874984741210938 × 2 - 1) × π
    0.749969482421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35609862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138626098632812 × 2 - 1) × π
    0.722747802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27057918740358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35609862} λ = 2.35609862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27057918740358))-π/2
    2×atan(9.68500862492849)-π/2
    2×1.46790856332393-π/2
    2.93581712664787-1.57079632675     		φ = 1.36502080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35609862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.994507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36502080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.209931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114686 KachelY 18170 2.35609862 1.36502080 134.994507 78.209931
    Oben rechts KachelX + 1 114687 KachelY 18170 2.35614655 1.36502080 134.997253 78.209931
    Unten links KachelX 114686 KachelY + 1 18171 2.35609862 1.36501100 134.994507 78.209369
    Unten rechts KachelX + 1 114687 KachelY + 1 18171 2.35614655 1.36501100 134.997253 78.209369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36502080-1.36501100) × R
    9.79999999994874e-06 × 6371000     		dl = 62.4357999996734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36502080-1.36501100) × R
    9.79999999994874e-06 × 6371000     		dr = 62.4357999996734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35609862-2.35614655) × cos(1.36502080) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204326386639102 × 6371000     		do = 62.3935202067193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35609862-2.35614655) × cos(1.36501100) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20433597987691 × 6371000     		du = 62.3964496172905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36502080)-sin(1.36501100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204326386639102-0.20433597987691)×R²
    abs(2.35614655-2.35609862)×9.59323780760912e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.59323780760912e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.59323780760912e-06×40589641000000     		ar = 3895.68079911881m²