Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114668 / 18228
↖ ↑ ↗
← N 78.177337°
E134.945068°		 ← 62.58 m → N 78.177337°
E134.947815°		 →
↑
62.56 m
↓
↑
62.56 m
↓
N 78.176774°
E134.945068°		 ← 62.58 m →
3 915 m²		 N 78.176774°
E134.947815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874851226806641 y=0.139072418212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874851226806641 × 217)
    floor (0.874851226806641 × 131072)
    floor (114668.5)     		tx = 114668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139072418212891 × 217)
    floor (0.139072418212891 × 131072)
    floor (18228.5)     		ty = 18228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114668 / 18228 ti = "17/114668/18228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114668/18228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114668 ÷ 217
    114668 ÷ 131072     		x = 0.874847412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18228 ÷ 217
    18228 ÷ 131072     		y = 0.139068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874847412109375 × 2 - 1) × π
    0.74969482421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35523575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139068603515625 × 2 - 1) × π
    0.72186279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26779884722562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35523575} λ = 2.35523575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26779884722562))-π/2
    2×atan(9.65811840562567)-π/2
    2×1.46762412801218-π/2
    2.93524825602435-1.57079632675     		φ = 1.36445193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35523575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.945068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36445193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.177337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114668 KachelY 18228 2.35523575 1.36445193 134.945068 78.177337
    Oben rechts KachelX + 1 114669 KachelY 18228 2.35528369 1.36445193 134.947815 78.177337
    Unten links KachelX 114668 KachelY + 1 18229 2.35523575 1.36444211 134.945068 78.176774
    Unten rechts KachelX + 1 114669 KachelY + 1 18229 2.35528369 1.36444211 134.947815 78.176774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36445193-1.36444211) × R
    9.82000000004923e-06 × 6371000     		dl = 62.5632200003137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36445193-1.36444211) × R
    9.82000000004923e-06 × 6371000     		dr = 62.5632200003137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35523575-2.35528369) × cos(1.36445193) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204883221993983 × 6371000     		do = 62.5766096910554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35523575-2.35528369) × cos(1.36444211) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204892833666795 × 6371000     		du = 62.5795453433368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36445193)-sin(1.36444211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204883221993983-0.204892833666795)×R²
    abs(2.35528369-2.35523575)×9.61167281260389e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.61167281260389e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.61167281260389e-06×40589641000000     		ar = 3915.08603081884m²