Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114667 / 18345
↖ ↑ ↗
← N 78.111317°
E134.942322°		 ← 62.91 m → N 78.111317°
E134.945068°		 →
↑
62.95 m
↓
↑
62.95 m
↓
N 78.110751°
E134.942322°		 ← 62.91 m →
3 960 m²		 N 78.110751°
E134.945068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874843597412109 y=0.139965057373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874843597412109 × 217)
    floor (0.874843597412109 × 131072)
    floor (114667.5)     		tx = 114667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139965057373047 × 217)
    floor (0.139965057373047 × 131072)
    floor (18345.5)     		ty = 18345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114667 / 18345 ti = "17/114667/18345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114667/18345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114667 ÷ 217
    114667 ÷ 131072     		x = 0.874839782714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18345 ÷ 217
    18345 ÷ 131072     		y = 0.139961242675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874839782714844 × 2 - 1) × π
    0.749679565429688 × 3.1415926535     		Λ = 2.35518782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139961242675781 × 2 - 1) × π
    0.720077514648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.26219022997007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35518782} λ = 2.35518782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26219022997007))-π/2
    2×atan(9.60410133820729)-π/2
    2×1.4670479924087-π/2
    2.93409598481741-1.57079632675     		φ = 1.36329966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35518782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.942322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36329966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.111317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114667 KachelY 18345 2.35518782 1.36329966 134.942322 78.111317
    Oben rechts KachelX + 1 114668 KachelY 18345 2.35523575 1.36329966 134.945068 78.111317
    Unten links KachelX 114667 KachelY + 1 18346 2.35518782 1.36328978 134.942322 78.110751
    Unten rechts KachelX + 1 114668 KachelY + 1 18346 2.35523575 1.36328978 134.945068 78.110751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36329966-1.36328978) × R
    9.88000000012867e-06 × 6371000     		dl = 62.9454800008198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36329966-1.36328978) × R
    9.88000000012867e-06 × 6371000     		dr = 62.9454800008198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35518782-2.35523575) × cos(1.36329966) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206010911963706 × 6371000     		do = 62.907910279427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35518782-2.35523575) × cos(1.36328978) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20602058002463 × 6371000     		du = 62.9108625381371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36329966)-sin(1.36328978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206010911963706-0.20602058002463)×R²
    abs(2.35523575-2.35518782)×9.66806092450589e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.66806092450589e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.66806092450589e-06×40589641000000     		ar = 3959.86152422619m²