Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114667 / 18239
↖ ↑ ↗
← N 78.171146°
E134.942322°		 ← 62.60 m → N 78.171146°
E134.945068°		 →
↑
62.63 m
↓
↑
62.63 m
↓
N 78.170582°
E134.942322°		 ← 62.60 m →
3 920 m²		 N 78.170582°
E134.945068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874843597412109 y=0.139156341552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874843597412109 × 217)
    floor (0.874843597412109 × 131072)
    floor (114667.5)     		tx = 114667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139156341552734 × 217)
    floor (0.139156341552734 × 131072)
    floor (18239.5)     		ty = 18239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114667 / 18239 ti = "17/114667/18239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114667/18239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114667 ÷ 217
    114667 ÷ 131072     		x = 0.874839782714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18239 ÷ 217
    18239 ÷ 131072     		y = 0.139152526855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874839782714844 × 2 - 1) × π
    0.749679565429688 × 3.1415926535     		Λ = 2.35518782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139152526855469 × 2 - 1) × π
    0.721694946289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.2672715413298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35518782} λ = 2.35518782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2672715413298))-π/2
    2×atan(9.65302696533907)-π/2
    2×1.46757009600433-π/2
    2.93514019200866-1.57079632675     		φ = 1.36434387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35518782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.942322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36434387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.171146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114667 KachelY 18239 2.35518782 1.36434387 134.942322 78.171146
    Oben rechts KachelX + 1 114668 KachelY 18239 2.35523575 1.36434387 134.945068 78.171146
    Unten links KachelX 114667 KachelY + 1 18240 2.35518782 1.36433404 134.942322 78.170582
    Unten rechts KachelX + 1 114668 KachelY + 1 18240 2.35523575 1.36433404 134.945068 78.170582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36434387-1.36433404) × R
    9.82999999998846e-06 × 6371000     		dl = 62.6269299999265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36434387-1.36433404) × R
    9.82999999998846e-06 × 6371000     		dr = 62.6269299999265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35518782-2.35523575) × cos(1.36434387) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204988988458632 × 6371000     		do = 62.5958536434129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35518782-2.35523575) × cos(1.36433404) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204998609701595 × 6371000     		du = 62.5987916056949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36434387)-sin(1.36433404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204988988458632-0.204998609701595)×R²
    abs(2.35523575-2.35518782)×9.62124296230438e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.62124296230438e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.62124296230438e-06×40589641000000     		ar = 3920.27814241608m²