Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114667 / 18183
↖ ↑ ↗
← N 78.202633°
E134.942322°		 ← 62.43 m → N 78.202633°
E134.945068°		 →
↑
62.44 m
↓
↑
62.44 m
↓
N 78.202072°
E134.942322°		 ← 62.43 m →
3 898 m²		 N 78.202072°
E134.945068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874843597412109 y=0.138729095458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874843597412109 × 217)
    floor (0.874843597412109 × 131072)
    floor (114667.5)     		tx = 114667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138729095458984 × 217)
    floor (0.138729095458984 × 131072)
    floor (18183.5)     		ty = 18183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114667 / 18183 ti = "17/114667/18183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114667/18183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114667 ÷ 217
    114667 ÷ 131072     		x = 0.874839782714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18183 ÷ 217
    18183 ÷ 131072     		y = 0.138725280761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874839782714844 × 2 - 1) × π
    0.749679565429688 × 3.1415926535     		Λ = 2.35518782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138725280761719 × 2 - 1) × π
    0.722549438476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.26995600770852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35518782} λ = 2.35518782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26995600770852))-π/2
    2×atan(9.67897500441711)-π/2
    2×1.46784487787328-π/2
    2.93568975574657-1.57079632675     		φ = 1.36489343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35518782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.942322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36489343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.202633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114667 KachelY 18183 2.35518782 1.36489343 134.942322 78.202633
    Oben rechts KachelX + 1 114668 KachelY 18183 2.35523575 1.36489343 134.945068 78.202633
    Unten links KachelX 114667 KachelY + 1 18184 2.35518782 1.36488363 134.942322 78.202072
    Unten rechts KachelX + 1 114668 KachelY + 1 18184 2.35523575 1.36488363 134.945068 78.202072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36489343-1.36488363) × R
    9.79999999994874e-06 × 6371000     		dl = 62.4357999996734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36489343-1.36488363) × R
    9.79999999994874e-06 × 6371000     		dr = 62.4357999996734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35518782-2.35523575) × cos(1.36489343) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204451067833329 × 6371000     		do = 62.4315931092914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35518782-2.35523575) × cos(1.36488363) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204460660816008 × 6371000     		du = 62.4345224419558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36489343)-sin(1.36488363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204451067833329-0.204460660816008)×R²
    abs(2.35523575-2.35518782)×9.59298267830255e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.59298267830255e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.59298267830255e-06×40589641000000     		ar = 3898.05790888947m²