Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114666 / 18247
↖ ↑ ↗
← N 78.166640°
E134.939575°		 ← 62.63 m → N 78.166640°
E134.942322°		 →
↑
62.63 m
↓
↑
62.63 m
↓
N 78.166077°
E134.939575°		 ← 62.64 m →
3 923 m²		 N 78.166077°
E134.942322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874835968017578 y=0.139217376708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874835968017578 × 217)
    floor (0.874835968017578 × 131072)
    floor (114666.5)     		tx = 114666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139217376708984 × 217)
    floor (0.139217376708984 × 131072)
    floor (18247.5)     		ty = 18247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114666 / 18247 ti = "17/114666/18247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114666/18247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114666 ÷ 217
    114666 ÷ 131072     		x = 0.874832153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18247 ÷ 217
    18247 ÷ 131072     		y = 0.139213562011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874832153320312 × 2 - 1) × π
    0.749664306640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35513988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139213562011719 × 2 - 1) × π
    0.721572875976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.26688804613284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35513988} λ = 2.35513988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26688804613284))-π/2
    2×atan(9.64932578559942)-π/2
    2×1.46753078247949-π/2
    2.93506156495897-1.57079632675     		φ = 1.36426524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35513988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.939575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36426524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.166640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114666 KachelY 18247 2.35513988 1.36426524 134.939575 78.166640
    Oben rechts KachelX + 1 114667 KachelY 18247 2.35518782 1.36426524 134.942322 78.166640
    Unten links KachelX 114666 KachelY + 1 18248 2.35513988 1.36425541 134.939575 78.166077
    Unten rechts KachelX + 1 114667 KachelY + 1 18248 2.35518782 1.36425541 134.942322 78.166077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36426524-1.36425541) × R
    9.82999999998846e-06 × 6371000     		dl = 62.6269299999265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36426524-1.36425541) × R
    9.82999999998846e-06 × 6371000     		dr = 62.6269299999265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35513988-2.35518782) × cos(1.36426524) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205065948060151 × 6371000     		do = 62.6324189350321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35513988-2.35518782) × cos(1.36425541) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205075569144637 × 6371000     		du = 62.6353574618809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36426524)-sin(1.36425541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205065948060151-0.205075569144637)×R²
    abs(2.35518782-2.35513988)×9.6210844861e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.6210844861e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.6210844861e-06×40589641000000     		ar = 3922.56813178123m²