Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114665 / 18238
↖ ↑ ↗
← N 78.171708°
E134.936829°		 ← 62.61 m → N 78.171708°
E134.939575°		 →
↑
62.56 m
↓
↑
62.56 m
↓
N 78.171146°
E134.936829°		 ← 62.61 m →
3 917 m²		 N 78.171146°
E134.939575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874828338623047 y=0.139148712158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874828338623047 × 217)
    floor (0.874828338623047 × 131072)
    floor (114665.5)     		tx = 114665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139148712158203 × 217)
    floor (0.139148712158203 × 131072)
    floor (18238.5)     		ty = 18238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114665 / 18238 ti = "17/114665/18238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114665/18238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114665 ÷ 217
    114665 ÷ 131072     		x = 0.874824523925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18238 ÷ 217
    18238 ÷ 131072     		y = 0.139144897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874824523925781 × 2 - 1) × π
    0.749649047851562 × 3.1415926535     		Λ = 2.35509194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139144897460938 × 2 - 1) × π
    0.721710205078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26731947822942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35509194} λ = 2.35509194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26731947822942))-π/2
    2×atan(9.65348971261499)-π/2
    2×1.46757500915746-π/2
    2.93515001831492-1.57079632675     		φ = 1.36435369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35509194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.936829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36435369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.171708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114665 KachelY 18238 2.35509194 1.36435369 134.936829 78.171708
    Oben rechts KachelX + 1 114666 KachelY 18238 2.35513988 1.36435369 134.939575 78.171708
    Unten links KachelX 114665 KachelY + 1 18239 2.35509194 1.36434387 134.936829 78.171146
    Unten rechts KachelX + 1 114666 KachelY + 1 18239 2.35513988 1.36434387 134.939575 78.171146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36435369-1.36434387) × R
    9.82000000004923e-06 × 6371000     		dl = 62.5632200003137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36435369-1.36434387) × R
    9.82000000004923e-06 × 6371000     		dr = 62.5632200003137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35509194-2.35513988) × cos(1.36435369) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204979376983525 × 6371000     		do = 62.6059778998911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35509194-2.35513988) × cos(1.36434387) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204988988458632 × 6371000     		du = 62.6089134917882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36435369)-sin(1.36434387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204979376983525-0.204988988458632)×R²
    abs(2.35513988-2.35509194)×9.61147510730731e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.61147510730731e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.61147510730731e-06×40589641000000     		ar = 3916.92339862501m²