Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114663 / 18227
↖ ↑ ↗
← N 78.177900°
E134.931336°		 ← 62.56 m → N 78.177900°
E134.934082°		 →
↑
62.56 m
↓
↑
62.56 m
↓
N 78.177337°
E134.931336°		 ← 62.56 m →
3 914 m²		 N 78.177337°
E134.934082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874813079833984 y=0.139064788818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874813079833984 × 217)
    floor (0.874813079833984 × 131072)
    floor (114663.5)     		tx = 114663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139064788818359 × 217)
    floor (0.139064788818359 × 131072)
    floor (18227.5)     		ty = 18227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114663 / 18227 ti = "17/114663/18227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114663/18227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114663 ÷ 217
    114663 ÷ 131072     		x = 0.874809265136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18227 ÷ 217
    18227 ÷ 131072     		y = 0.139060974121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874809265136719 × 2 - 1) × π
    0.749618530273438 × 3.1415926535     		Λ = 2.35499607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139060974121094 × 2 - 1) × π
    0.721878051757812 × 3.1415926535     		Φ = 2.26784678412524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35499607} λ = 2.35499607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26784678412524))-π/2
    2×atan(9.6585813969753)-π/2
    2×1.46762903863021-π/2
    2.93525807726042-1.57079632675     		φ = 1.36446175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35499607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.931336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36446175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.177900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114663 KachelY 18227 2.35499607 1.36446175 134.931336 78.177900
    Oben rechts KachelX + 1 114664 KachelY 18227 2.35504400 1.36446175 134.934082 78.177900
    Unten links KachelX 114663 KachelY + 1 18228 2.35499607 1.36445193 134.931336 78.177337
    Unten rechts KachelX + 1 114664 KachelY + 1 18228 2.35504400 1.36445193 134.934082 78.177337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36446175-1.36445193) × R
    9.82000000004923e-06 × 6371000     		dl = 62.5632200003137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36446175-1.36445193) × R
    9.82000000004923e-06 × 6371000     		dr = 62.5632200003137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35499607-2.35504400) × cos(1.36446175) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204873610301413 × 6371000     		do = 62.5606215351066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35499607-2.35504400) × cos(1.36445193) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204883221993983 × 6371000     		du = 62.5635565810615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36446175)-sin(1.36445193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204873610301413-0.204883221993983)×R²
    abs(2.35504400-2.35499607)×9.61169256999406e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.61169256999406e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.61169256999406e-06×40589641000000     		ar = 3914.08574155651m²