Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114663 / 18107
↖ ↑ ↗
← N 78.245234°
E134.931336°		 ← 62.21 m → N 78.245234°
E134.934082°		 →
↑
62.24 m
↓
↑
62.24 m
↓
N 78.244674°
E134.931336°		 ← 62.21 m →
3 872 m²		 N 78.244674°
E134.934082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874813079833984 y=0.138149261474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874813079833984 × 217)
    floor (0.874813079833984 × 131072)
    floor (114663.5)     		tx = 114663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138149261474609 × 217)
    floor (0.138149261474609 × 131072)
    floor (18107.5)     		ty = 18107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114663 / 18107 ti = "17/114663/18107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114663/18107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114663 ÷ 217
    114663 ÷ 131072     		x = 0.874809265136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18107 ÷ 217
    18107 ÷ 131072     		y = 0.138145446777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874809265136719 × 2 - 1) × π
    0.749618530273438 × 3.1415926535     		Λ = 2.35499607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138145446777344 × 2 - 1) × π
    0.723709106445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.27359921207964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35499607} λ = 2.35499607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27359921207964))-π/2
    2×atan(9.71430180075643)-π/2
    2×1.46821664305535-π/2
    2.93643328611069-1.57079632675     		φ = 1.36563696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35499607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.931336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36563696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.245234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114663 KachelY 18107 2.35499607 1.36563696 134.931336 78.245234
    Oben rechts KachelX + 1 114664 KachelY 18107 2.35504400 1.36563696 134.934082 78.245234
    Unten links KachelX 114663 KachelY + 1 18108 2.35499607 1.36562719 134.931336 78.244674
    Unten rechts KachelX + 1 114664 KachelY + 1 18108 2.35504400 1.36562719 134.934082 78.244674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36563696-1.36562719) × R
    9.76999999990902e-06 × 6371000     		dl = 62.2446699994204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36563696-1.36562719) × R
    9.76999999990902e-06 × 6371000     		dr = 62.2446699994204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35499607-2.35504400) × cos(1.36563696) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203723187130152 × 6371000     		do = 62.2093259801712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35499607-2.35504400) × cos(1.36562719) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203732752229169 × 6371000     		du = 62.2122467982243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36563696)-sin(1.36562719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203723187130152-0.203732752229169)×R²
    abs(2.35504400-2.35499607)×9.56509901722802e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.56509901722802e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.56509901722802e-06×40589641000000     		ar = 3872.28986905217m²