Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114662 / 18202
↖ ↑ ↗
← N 78.191959°
E134.928589°		 ← 62.50 m → N 78.191959°
E134.931336°		 →
↑
62.50 m
↓
↑
62.50 m
↓
N 78.191397°
E134.928589°		 ← 62.50 m →
3 906 m²		 N 78.191397°
E134.931336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874805450439453 y=0.138874053955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874805450439453 × 217)
    floor (0.874805450439453 × 131072)
    floor (114662.5)     		tx = 114662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138874053955078 × 217)
    floor (0.138874053955078 × 131072)
    floor (18202.5)     		ty = 18202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114662 / 18202 ti = "17/114662/18202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114662/18202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114662 ÷ 217
    114662 ÷ 131072     		x = 0.874801635742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18202 ÷ 217
    18202 ÷ 131072     		y = 0.138870239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874801635742188 × 2 - 1) × π
    0.749603271484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.35494813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138870239257812 × 2 - 1) × π
    0.722259521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26904520661574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35494813} λ = 2.35494813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26904520661574))-π/2
    2×atan(9.67016339682614)-π/2
    2×1.46775172922762-π/2
    2.93550345845525-1.57079632675     		φ = 1.36470713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35494813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.928589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36470713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.191959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114662 KachelY 18202 2.35494813 1.36470713 134.928589 78.191959
    Oben rechts KachelX + 1 114663 KachelY 18202 2.35499607 1.36470713 134.931336 78.191959
    Unten links KachelX 114662 KachelY + 1 18203 2.35494813 1.36469732 134.928589 78.191397
    Unten rechts KachelX + 1 114663 KachelY + 1 18203 2.35499607 1.36469732 134.931336 78.191397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36470713-1.36469732) × R
    9.80999999988796e-06 × 6371000     		dl = 62.4995099992862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36470713-1.36469732) × R
    9.80999999988796e-06 × 6371000     		dr = 62.4995099992862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35494813-2.35499607) × cos(1.36470713) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20463342902937 × 6371000     		do = 62.5003164899918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35494813-2.35499607) × cos(1.36469732) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204643031426965 × 6371000     		du = 62.503249309383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36470713)-sin(1.36469732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20463342902937-0.204643031426965)×R²
    abs(2.35499607-2.35494813)×9.60239759523196e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.60239759523196e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.60239759523196e-06×40589641000000     		ar = 3906.33080552661m²