Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114659 / 18117
↖ ↑ ↗
← N 78.239638°
E134.920349°		 ← 62.25 m → N 78.239638°
E134.923096°		 →
↑
62.24 m
↓
↑
62.24 m
↓
N 78.239078°
E134.920349°		 ← 62.25 m →
3 875 m²		 N 78.239078°
E134.923096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874782562255859 y=0.138225555419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874782562255859 × 217)
    floor (0.874782562255859 × 131072)
    floor (114659.5)     		tx = 114659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138225555419922 × 217)
    floor (0.138225555419922 × 131072)
    floor (18117.5)     		ty = 18117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114659 / 18117 ti = "17/114659/18117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114659/18117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114659 ÷ 217
    114659 ÷ 131072     		x = 0.874778747558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18117 ÷ 217
    18117 ÷ 131072     		y = 0.138221740722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874778747558594 × 2 - 1) × π
    0.749557495117188 × 3.1415926535     		Λ = 2.35480432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138221740722656 × 2 - 1) × π
    0.723556518554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.27311984308344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35480432} λ = 2.35480432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27311984308344))-π/2
    2×atan(9.70964618162231)-π/2
    2×1.46816780230543-π/2
    2.93633560461086-1.57079632675     		φ = 1.36553928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35480432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.920349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36553928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.239638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114659 KachelY 18117 2.35480432 1.36553928 134.920349 78.239638
    Oben rechts KachelX + 1 114660 KachelY 18117 2.35485226 1.36553928 134.923096 78.239638
    Unten links KachelX 114659 KachelY + 1 18118 2.35480432 1.36552951 134.920349 78.239078
    Unten rechts KachelX + 1 114660 KachelY + 1 18118 2.35485226 1.36552951 134.923096 78.239078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36553928-1.36552951) × R
    9.76999999990902e-06 × 6371000     		dl = 62.2446699994204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36553928-1.36552951) × R
    9.76999999990902e-06 × 6371000     		dr = 62.2446699994204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35480432-2.35485226) × cos(1.36553928) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203818817664934 × 6371000     		do = 62.2515132111966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35480432-2.35485226) × cos(1.36552951) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203828382569481 × 6371000     		du = 62.254434579246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36553928)-sin(1.36552951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203818817664934-0.203828382569481)×R²
    abs(2.35485226-2.35480432)×9.56490454714909e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.56490454714909e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.56490454714909e-06×40589641000000     		ar = 3874.91581672253m²