Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114658 / 18215
↖ ↑ ↗
← N 78.184650°
E134.917602°		 ← 62.54 m → N 78.184650°
E134.920349°		 →
↑
62.56 m
↓
↑
62.56 m
↓
N 78.184088°
E134.917602°		 ← 62.54 m →
3 913 m²		 N 78.184088°
E134.920349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874774932861328 y=0.138973236083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874774932861328 × 217)
    floor (0.874774932861328 × 131072)
    floor (114658.5)     		tx = 114658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138973236083984 × 217)
    floor (0.138973236083984 × 131072)
    floor (18215.5)     		ty = 18215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114658 / 18215 ti = "17/114658/18215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114658/18215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114658 ÷ 217
    114658 ÷ 131072     		x = 0.874771118164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18215 ÷ 217
    18215 ÷ 131072     		y = 0.138969421386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874771118164062 × 2 - 1) × π
    0.749542236328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35475638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138969421386719 × 2 - 1) × π
    0.722061157226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.26842202692068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35475638} λ = 2.35475638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26842202692068))-π/2
    2×atan(9.66413902467749)-π/2
    2×1.46768794807832-π/2
    2.93537589615664-1.57079632675     		φ = 1.36457957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35475638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.917602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36457957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.184650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114658 KachelY 18215 2.35475638 1.36457957 134.917602 78.184650
    Oben rechts KachelX + 1 114659 KachelY 18215 2.35480432 1.36457957 134.920349 78.184650
    Unten links KachelX 114658 KachelY + 1 18216 2.35475638 1.36456975 134.917602 78.184088
    Unten rechts KachelX + 1 114659 KachelY + 1 18216 2.35480432 1.36456975 134.920349 78.184088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36457957-1.36456975) × R
    9.82000000004923e-06 × 6371000     		dl = 62.5632200003137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36457957-1.36456975) × R
    9.82000000004923e-06 × 6371000     		dr = 62.5632200003137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35475638-2.35480432) × cos(1.36457957) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204758288026087 × 6371000     		do = 62.5384516414596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35475638-2.35480432) × cos(1.36456975) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204767899955633 × 6371000     		du = 62.541387372154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36457957)-sin(1.36456975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204758288026087-0.204767899955633)×R²
    abs(2.35480432-2.35475638)×9.6119295460162e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.6119295460162e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.6119295460162e-06×40589641000000     		ar = 3912.69874285153m²