Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114655 / 18213
↖ ↑ ↗
← N 78.185775°
E134.909363°		 ← 62.53 m → N 78.185775°
E134.912109°		 →
↑
62.56 m
↓
↑
62.56 m
↓
N 78.185212°
E134.909363°		 ← 62.54 m →
3 912 m²		 N 78.185212°
E134.912109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874752044677734 y=0.138957977294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874752044677734 × 217)
    floor (0.874752044677734 × 131072)
    floor (114655.5)     		tx = 114655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138957977294922 × 217)
    floor (0.138957977294922 × 131072)
    floor (18213.5)     		ty = 18213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114655 / 18213 ti = "17/114655/18213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114655/18213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114655 ÷ 217
    114655 ÷ 131072     		x = 0.874748229980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18213 ÷ 217
    18213 ÷ 131072     		y = 0.138954162597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874748229980469 × 2 - 1) × π
    0.749496459960938 × 3.1415926535     		Λ = 2.35461257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138954162597656 × 2 - 1) × π
    0.722091674804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.26851790071992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35461257} λ = 2.35461257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26851790071992))-π/2
    2×atan(9.66506560681893)-π/2
    2×1.46769776309531-π/2
    2.93539552619062-1.57079632675     		φ = 1.36459920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35461257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.909363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36459920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.185775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114655 KachelY 18213 2.35461257 1.36459920 134.909363 78.185775
    Oben rechts KachelX + 1 114656 KachelY 18213 2.35466051 1.36459920 134.912109 78.185775
    Unten links KachelX 114655 KachelY + 1 18214 2.35461257 1.36458938 134.909363 78.185212
    Unten rechts KachelX + 1 114656 KachelY + 1 18214 2.35466051 1.36458938 134.912109 78.185212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36459920-1.36458938) × R
    9.82000000004923e-06 × 6371000     		dl = 62.5632200003137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36459920-1.36458938) × R
    9.82000000004923e-06 × 6371000     		dr = 62.5632200003137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35461257-2.35466051) × cos(1.36459920) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204739073895925 × 6371000     		do = 62.5325831515367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35461257-2.35466051) × cos(1.36458938) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204748685864941 × 6371000     		du = 62.5355188942862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36459920)-sin(1.36458938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204739073895925-0.204748685864941)×R²
    abs(2.35466051-2.35461257)×9.61196901566597e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.61196901566597e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.61196901566597e-06×40589641000000     		ar = 3912.33159170045m²