Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114654 / 18196
↖ ↑ ↗
← N 78.195331°
E134.906616°		 ← 62.47 m → N 78.195331°
E134.909363°		 →
↑
62.50 m
↓
↑
62.50 m
↓
N 78.194769°
E134.906616°		 ← 62.47 m →
3 904 m²		 N 78.194769°
E134.909363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874744415283203 y=0.138828277587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874744415283203 × 217)
    floor (0.874744415283203 × 131072)
    floor (114654.5)     		tx = 114654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138828277587891 × 217)
    floor (0.138828277587891 × 131072)
    floor (18196.5)     		ty = 18196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114654 / 18196 ti = "17/114654/18196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114654/18196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114654 ÷ 217
    114654 ÷ 131072     		x = 0.874740600585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18196 ÷ 217
    18196 ÷ 131072     		y = 0.138824462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874740600585938 × 2 - 1) × π
    0.749481201171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35456464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138824462890625 × 2 - 1) × π
    0.72235107421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26933282801346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35456464} λ = 2.35456464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26933282801346))-π/2
    2×atan(9.67294514276417)-π/2
    2×1.46778115356163-π/2
    2.93556230712326-1.57079632675     		φ = 1.36476598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35456464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.906616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36476598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.195331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114654 KachelY 18196 2.35456464 1.36476598 134.906616 78.195331
    Oben rechts KachelX + 1 114655 KachelY 18196 2.35461257 1.36476598 134.909363 78.195331
    Unten links KachelX 114654 KachelY + 1 18197 2.35456464 1.36475617 134.906616 78.194769
    Unten rechts KachelX + 1 114655 KachelY + 1 18197 2.35461257 1.36475617 134.909363 78.194769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36476598-1.36475617) × R
    9.81000000011001e-06 × 6371000     		dl = 62.4995100007009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36476598-1.36475617) × R
    9.81000000011001e-06 × 6371000     		dr = 62.4995100007009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35456464-2.35461257) × cos(1.36476598) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204575824018781 × 6371000     		do = 62.4696889113361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35456464-2.35461257) × cos(1.36475617) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204585426534502 × 6371000     		du = 62.4726211550296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36476598)-sin(1.36475617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204575824018781-0.204585426534502)×R²
    abs(2.35461257-2.35456464)×9.60251572026949e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.60251572026949e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.60251572026949e-06×40589641000000     		ar = 3904.41657877013m²