Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114644 / 18132
↖ ↑ ↗
← N 78.231237°
E134.879151°		 ← 62.28 m → N 78.231237°
E134.881897°		 →
↑
62.31 m
↓
↑
62.31 m
↓
N 78.230677°
E134.879151°		 ← 62.29 m →
3 881 m²		 N 78.230677°
E134.881897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874668121337891 y=0.138339996337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874668121337891 × 217)
    floor (0.874668121337891 × 131072)
    floor (114644.5)     		tx = 114644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138339996337891 × 217)
    floor (0.138339996337891 × 131072)
    floor (18132.5)     		ty = 18132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114644 / 18132 ti = "17/114644/18132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114644/18132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114644 ÷ 217
    114644 ÷ 131072     		x = 0.874664306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18132 ÷ 217
    18132 ÷ 131072     		y = 0.138336181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874664306640625 × 2 - 1) × π
    0.74932861328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35408527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138336181640625 × 2 - 1) × π
    0.72332763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27240078958914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35408527} λ = 2.35408527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27240078958914))-π/2
    2×atan(9.70266693613312)-π/2
    2×1.46809449818986-π/2
    2.93618899637972-1.57079632675     		φ = 1.36539267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35408527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.879151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36539267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.231237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114644 KachelY 18132 2.35408527 1.36539267 134.879151 78.231237
    Oben rechts KachelX + 1 114645 KachelY 18132 2.35413320 1.36539267 134.881897 78.231237
    Unten links KachelX 114644 KachelY + 1 18133 2.35408527 1.36538289 134.879151 78.230677
    Unten rechts KachelX + 1 114645 KachelY + 1 18133 2.35413320 1.36538289 134.881897 78.230677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36539267-1.36538289) × R
    9.78000000007029e-06 × 6371000     		dl = 62.3083800004478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36539267-1.36538289) × R
    9.78000000007029e-06 × 6371000     		dr = 62.3083800004478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35408527-2.35413320) × cos(1.36539267) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20396234792857 × 6371000     		do = 62.2823566070726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35408527-2.35413320) × cos(1.36538289) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203971922330829 × 6371000     		du = 62.2852802659824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36539267)-sin(1.36538289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20396234792857-0.203971922330829)×R²
    abs(2.35413320-2.35408527)×9.57440225909933e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.57440225909933e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.57440225909933e-06×40589641000000     		ar = 3880.80382693761m²